Fibonacci Leonardo
Il mio nome è Leonardo e sono nato a Pisa; mi chiamano Fibonacci, “il figlio di Bonaccio”, e mi occupo di Aritmetica. Voglio raccontarti la storia di un gruppo di simpatici coniglietti bianchi. Immagina di possedere una coppia di giovanissimi conigli. Dopo un mese di vita essa diviene feconda e, da quel momento in poi, genera una nuova coppia di coniglietti al mese. Ogni nuova coppia di coniglietti si comporterà allo stesso modo, ricorda: dopo un primo mese di attesa, genererà una nuova coppia di coniglietti al mese, tutti i mesi.
Seguiamo insieme l’evoluzione del gruppo di coniglietti; in particolare,facciamo attenzione al numero di coppie di coniglietti che avremo a disposizione, mese dopo mese:
• all’inizio abbiamo solo una coppia di coniglietti, che chiameremo A; inizialmente, come sappiamo, non è feconda.
•dopo un mese abbiamo ancora la sola coppia A, che però è diventata feconda.
•dopo due mesi la coppia A ha generato una nuova coppia di coniglietti, B, che,inizialmente, non è feconda:
A + B
•dopo tre mesi la coppia A ha generato un’altra coppia di coniglietti, C, inizialmente non feconda; la coppia B è intanto diventata feconda:
A+ C +B
•dopo quattro, cinque, sei mesi… continua tu! Se conteremo, mese dopo mese, il numero delle coppie di coniglietti,troveremo questa successione che viene detta successione di Fibonacci: fu il matematico francese Edouard Lucas (1842-1891) che propose tale denominazione:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; …
I calcoli diventano sempre più complicati; come potremmo scrivere una“regola” che ci aiuti a calcolare con facilità i termini di tale successione? Non è difficile: in fondo, quante saranno le coppie di coniglietti ad un mese considerato?
•Ci saranno, ovviamente, tutte le coppie di coniglietti del mese precedente.
• Ci saranno poi le coppie “neonate”: ma quante? Una per ogni coppia in età feconda (nel mese precedente al mese che consideriamo). A questo riguardo,ricordiamo che le coppie di coniglietti diventano feconde dopo un mese di“attesa”. Quindi per sapere quante coppie di coniglietti si trovano in età feconda al momento considerato, bisogna controllare il numero delle coppie di coniglietti presenti due mesi prima: sono proprio loro che, il mese successivo ( un mese prima del momento di cui ci occupiamo) si sarebbero trovate in età feconda ed avrebbero quindi generato una nuova coppia di coniglietti.
Quindi: il numero di coppie di un mese considerato è la somma del numero delle coppie presenti nei due mesi precedenti. Possiamo formalizzare quanto affermato nel modo seguente :
Possiamo anche rappresentare in un grafico l’andamento della nostra “popolazione” per i primi mesi (consideriamo, ad esempio, il primo anno):
A questo punto possiamo osservare una caratteristica interessante a propositodel “ritmo” di crescita del numero dei nostri coniglietti: se esaminiamo il rapporto
Rn tra il numero di coppie al mese n-esimo ed al mese (n+1)-esimo, troviamo:
Scritte così, queste frazioni possono non apparire molto significative; ma se scriviamo tali numeri in forma decimale (1; 0,5; 0,666…; 0,6; 0,625; 0,615…;0,619…; 0,617…; 0,6188…; 0,6179…; 0,61805…) o, meglio, se li riportiamo in un grafico, ci renderemmo conto che al crescere dell’indice n il rapporto tende a“stabilizzarsi”, a collocarsi intorno ad un valore di poco superiore a 0,6:
Questo comportamento ci sembra senz’altro interessante; per poterlo studiare meglio, però, sarebbe opportuno scrivere una “regola” (simile a quella ricavata poco fa) che ci consenta di calcolare facilmente i rapporti tra due termini consecutivi della nostra successione di Fibonacci. Riflettiamo: il primo rapporto è evidentemente 1 (i primi due elementi della successione di Fibonacci sono infatti uguali!). Per quanto riguarda i rapporti successivi, proviamo a calcolare il rapporto Rn+1 tra il numero di coppie al mese(n+1)-esimo ed al mese (n+2)-esimo;
possiamo scrivere:
e dunque la “regola” è la seguente:
Chissà, forse questa scrittura potrà essere interessante. Ma di ciò se ne occuperà qualche mio bravo Collega; sarebbe infatti interessante sapere se c’è un valore particolare al quale il rapporto Rn si avvicina quando n diventa sempre più grande,vero? Noi ci limiteremo ad applicare la regola trovata per i primi tre o quattro valori del rapporto Rn ; potremmo scrivere:
Lo stesso principio, onnipresente nelle forme armoniche della natura, si ritrova anche nella data del 23 novembre, scelta per festeggiare il Fibonacci Day proprio perché nella notazione anglosassone si scrive 11-23 e ricorda i primi quattro termini della celebre serie che ispirò anche un brano dei Genesis, ‘Firth of fifth’ .
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