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Le Derivate

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LE DERIVATE

Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 è la misura della pendenza (il coefficiente angolare, cioè la tangente trigonometrica dell’angolo fra la retta tangente e l’asse orizzontale) della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico della funzione nel punto (x0,f(x0)).

Significato geometrico della derivata

La derivata di una funzione in un punto è un numero che misura la pendenza (cioè il coefficiente angolare) della retta tangente alla curva nel punto.

 

Definizione analitica di derivata

In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x0 è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell’incremento h, sotto l’ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Più precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x0 si dice derivabile nel punto x0 se esiste ed è finito il limite:

definizione di derivata

ed il valore di questo limite prende il nome di derivata della funzione nel punto x0. Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un dato intervallo (ab), allora si dice che essa è derivabile in (ab), e la funzione f’ (x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x è la funzione derivata di f.

Derivata destra e derivata sinistra

Si chiama derivata destra di f in x0 il:

 

Si chiama derivata sinistra di f in x0 il:

 

Una funzione è derivabile in x0 se e solo se esistono le derivate sinistra e destra e coincidono.

Le derivate destra e sinistra permettono di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se f è definita ad esempio nell’intervallo chiuso [ab], si dice che f è derivabile in [ab] se è derivabile in ogni punto interno x in (ab) e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi x=a e x=b.

Le derivate destra e sinistra permettono di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se f è definita ad esempio nell’intervallo chiuso [ab], si dice che f è derivabile in [ab] se è derivabile in ogni punto interno x in (ab) e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi x=a e x=b.

Significato geometrico della derivata

La retta in rosso è la tangente alla funzione f(x) nel punto x0.

Il valore della derivata di f(x) calcolata in x0 ha, come si diceva sopra, un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di f(x), nel punto di coordinate (x0,f(x0)).

In altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell’angolo che la retta tangente a una curva in un suo punto forma con l’asse delle ascisse.

L’equazione della retta tangente in x0 risulta:

Più precisamente, se f(x) è derivabile nel punto x0, allora esiste una funzione o( | x − x0 | ) definita in un intorno di x0 tale che:

con:

Teorema di continuità

Il teorema asserisce che se f(x) è derivabile in x0 allora f(x) è anche continua in x0.

Notiamo che l’inverso non è sempre vero: ad esempio, la funzione f(x) = | x | è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra. La continuità di una funzione è quindi condizione necessaria, ma non sufficiente, per determinarne la derivabilità.

Funzioni non derivabili.

La funzione valore assoluto non è derivabile nell’origine, dove ha un punto angoloso

Una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un punto isolato del dominio, in presenza di fenomeni di questo tipo:

  • punto angoloso
  • cuspide
  • flesso a tangente verticale

Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la funzione di Cantor.

Teorema di Fermat ( max e min di una funzione)

  • sia f(x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x0
  • sia x0 un punto interno al dominio della funzione f
  • sia x0 un punto di massimo o di minimo della funzione f

allora la derivata della funzione in x0 è nulla, cioè f‘(x0) = 0.

Questo teorema è molto usato nello studio di funzione dato che definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.

Osservazioni

  • è indispensabile che x0 sia interno al dominio
  • la funzione deve essere derivabile nel punto x0, altrimenti il teorema non ha senso.

Ogni punto in cui la f‘(x) si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di f‘(x).

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell’intervallo aperto (a,b). Se f(a) = f(b) allora esiste un punto x0 appartenente all’intervallo aperto (a,b) di f’(x) dove la derivata prima si annulla.

Teorema di Lagrange

Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto x0 appartenente ad (a,b) per cui:

Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione (x0,f(x0)) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)).

Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f(a) è diverso da f(b), se invece f(a) è uguale a f(b) si ricade nel Teorema di Rolle.

Teorema di Cauchy

Siano f(x) e g(x) funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b) con g’(x) diversa da 0 per ogni punto dell’intervallo, allora esiste almeno un punto x0 appartenente ad (a,b) per cui:

Considerando in particolare la funzione g(t) = t, si ottiene l’affermazione del teorema di Lagrange.

Teorema crescenza-decrescenza

Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora :

se e solo se la funzione è crescente in (a,b)

se e solo se la funzione è decrescente in (a,b)

La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente). Il teorema è direttamente ricavabile dall’enunciato di Lagrange. D’altra parte, valgono anche i fatti seguenti.

  • Se

allora la funzione è strettamente crescente in (a,b)

  • Se
  •   allora la funzione è strettamente decrescente in (a,b)

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio,

f(x) = x3

è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell’origine (dove c’è un punto di flesso).

 

Continuità e derivabilità

ALCUNI ESEMPI SIGNIFICATIVI:

Esempio1:

Esempio2:

Esempio3:

Esempio4:

infatti:

Il teorema di de l’Hopital