Nella logica induttiva, invece, è presente il rischio: possiamo avere premesse vere e una buona argomentazione, e tuttavia la conclusione può essere falsa. La logica induttiva usa la probabilità per analizzare questo tipo di argomentazione rischiosa.
La buona notizia
ll ragionamento induttivo ci serve da guida nella vita. Prendiamo continuamente decisioni rischiose, e nella vita quotidiana questo genere di ragionamento è molto più frequente di quello deduttivo.
La cattiva notizia
Ragioniamo molto male sul rischio, e quando usiamo le probabilità commettiamo molti errori.
Indice
La logica induttiva
Estensione della logica deduttiva che descrive inferenze in cui la conclusione non segue dalle premesse con certezza assoluta ma riceve da queste un certo grado calcolabile di conferma, proporzionale all’evidenza disponibile a loro favore. Tale grado di conferma è normalmente espresso da gradi di probabilità, al punto che nella visione dei cosiddetti logicisti (come John M. Keynes e Rudolf Carnap) la conferma induttiva si identifica con la probabilità condizionale della conclusione date le premesse e la logica induttiva coincide con lo stesso calcolo delle probabilità. Circa le proprietà delle funzioni di conferma si sono manifestati orientamenti diversi. Per citare i principali, tali funzioni si possono vedere come esprimenti certi rapporti tra la dimensione della classe di mondi possibili in cui valgono le premesse e quella dei mondi in cui vale la conclusione, oppure come esprimenti le misure del grado di credenza soggettivo nella conclusione date le premesse. Il primo approccio, condiviso dai logicisti, ha prodotto risultati notevoli come il cosiddetto continuo dei metodi induttivi di Carnap (anticipato da William E. Johnson), che offre un quadro di tutti i possibili metodi induttivi tenendo conto di due parametri numerici, uno empirico descrivente il peso dell’esperienza e uno logico dipendente dal numero dei predicati del linguaggio. Dato che nella costruzione carnapiana le leggi di natura ricevono valore 0 per il loro carattere infinitario, da parte di Jakko Hintikka e della sua scuola si è cercato di ovviare a questo inconveniente con l’introduzione di ulteriori parametri. Un problema interessante per i logicisti è che il grado di sostegno induttivo non dovrebbe risultare alto in funzione dell’alta probabilità della conclusione ma in funzione del grado di rilevanza delle premesse per la conclusione. La seconda corrente – che ha fatto capo a studiosi come Frank Ramsey, Bruno De Finetti, Leonard Savage, detti soggettivisti – fa invece un uso essenziale ed esclusivo del teorema di Bayes, che consente di calcolare la probabilità a posteriori di B dato A (per es., quella di una generalizzazione data l’evidenza a suo favore) una volta nota le probabilità a priori di A, di B e di A dato B. Misurando tali valori in termini, per es., di quozienti soggettivi di scommesse o di valutazioni puramente comparative, i soggettivisti ritengono di disporre di strumenti sufficienti a ricostruire il ragionamento induttivo e a rifondare la stessa scienza statistica.
Siamo sommersi dalle probabilità e dalle statistiche
Oggi si sente parlare continuamente di probabilità, statistiche e rischi; tutto (il lavoro, il sesso, la guerra, la salute, lo sport, i voti che prendiamo a scuola, l’ambiente, la politica, l’astronomia, la genetica) è confezionato in un linguaggio probabilistico.
Si tratta di una novità. Ai i vostri nonni difficilmente sarà loro capitato di trovarsi di fronte a frasi più complicate di “Nove stelle di Hollywood su dieci usano il sapone di bellezza Lux” (una frase resa celebre da una trasmissione radiofonica settimanale) ; oggi, invece, si parla continuamente di sondaggi, sintesi e riassunti di quel che pensa la gente. Sembra che non sia possibile prendere decisioni di interesse pubblico senza analisi statistiche, analisi dei rischi e studi dell’impatto ambientale.
Un significato di tutti questi numeri è abbastanza difficile da capire,tentiamo di capire come vengono usati e come se ne abusa; quando il ragionamento induttivo è fallace o utilizza argomenti inadeguati; in che modo la gente si fa imbrogliare dai numeri; in che modo i numeri vengono usati (molto spesso) per nascondere la propria ignoranza; come si può evitare di farsi prendere in giro.
Il gioco d’azzardo
Molti degli esempi più semplici di probabilità riguardano i giochi d’azzardo, e questo potrebbe non piacervi. Gli esseri umani hanno atteggiamenti molto diversi nei confronti delle scommesse in cui si mette in palio denaro: alcuni le trovano divertenti (per certe persone sono una droga), altri le considerano noiose, altri ancora le giudicano immorali. I governi di tutto il mondo amano le scommesse legalizzate (come le lotterie), perché sono un modo molto facile per produrre entrate (i giocatori, come gruppo, perdono sempre moltissimo). Non faremo pubblicità al gioco d’azzardo, anzi: a parte i casi in cui si scommette fra amici sul risultato di una certa partita o (sempre fra amici) si tira tardi giocando a poker, il gioco è uno spreco di tempo, denaro e dignità umana.
Eppure nella nostra rischiosissima vita “scommettiamo” continuamente: prendiamo decisioni su basi incerte e traiamo conclusioni a partire da dati insufficienti, non per divertimento ma perché non ne sappiamo abbastanza, e i modelli basati sui giochi possono aiutarci a capire queste decisioni e queste inferenze; possono fare chiarezza sul nostro modo di pensare il caso.
È per questa ragione che ci occupiamo così spesso dei dadi e degli altri casualizzatori che vengono usati nelle scommesse. Tali casualizzatori sono presenti anche in questioni pratiche come la valutazione delle testimonianze in tribunale e la diagnostica medica.
Che cos’è la logica induttiva?
La logica induttiva studia argomenti rischiosi: analizza le argomentazioni induttive usando la probabilità. Ma esistono anche altri tipi di argomenti rischiosi, come l’inferenza alla spiegazione migliore e gli argomenti basati su testimonianze.
Gli argomenti validi sono immuni dal rischio, ma la logica induttiva studia gli argomenti rischiosi. Un argomento rischioso può essere eccellente, e tuttavia è sempre possibile che la sua conclusione sia falsa anche quando le premesse sono vere. D’altronde la grande maggioranza degli argomenti di cui facciamo uso è rischiosa.
Cominciamo con i massimi sistemi. La teoria secondo cui l’universo ha avuto origine dal Big Bang è ben confermata dai dati a nostra disposizione, ma potrebbe essere falsa. Sostenere questa teoria è un rischio.
Vi sono fortissimi indizi del fatto che il fumo causa il cancro ai polmoni, ma il ragionamento che partendo da questa premessa giunge alla conclusione che il fumo provoca il cancro ai polmoni è pur sempre rischioso: potrebbe emergere che le persone predisposte alla dipendenza dalla nicotina sono predisposte anche al cancro ai polmoni, e in tal caso la nostra conclusione che il fumo causa questo tipo di tumore tornerebbe in discussione.
Dopo lunghe ricerche, un’azienda conclude di poter realizzare profitti mettendo sul mercato uno speciale mouse mancino. Questa è una decisione rischiosa.
Volete stare nella stessa classe del vostro amico Carlo e fate questo ragionamento: a Carlo piace la matematica, quindi si iscriverà a un altro corso di logica. Decidete di iscrivervi a logica induttiva. Avete costruito un argomento rischioso.
LE ARANCE
Qui di seguito forniamo qualche esempio di argomento rischioso tratto dalla vita quotidiana.
Una fruttivendola vende la frutta un po’ passata a metà prezzo, e io voglio una cassetta di arance a buon mercato ; però voglio che le arance siano buone, dolci, non marce.
La fruttivendola ne prende una che sta in cima a una cassetta, la taglia e me la fa vedere; il suo argomento è:
(A) Questa arancia è buona.
quindi
Tutte (o quasi) le arance nella cassetta sono buone.
La premessa è un indizio a favore della conclusione, ma non è un indizio particolarmente forte: può darsi che le altre arance nella cassetta siano in maggioranza marce.
L’argomento (A) non è valido: anche se la premessa è vera, la conclusione po
trebbe essere falsa. Si tratta di un argomento rischioso.
Se compro la cassetta a metà prezzo basandomi su questo argomento corro un rischio notevole, perciò allungo la mano e prendo un’arancia a caso. Anche questa è buona, quindi decido di comprare tutta la cassetta. Ho fatto questo ragionamento:
(B) Questa arancia che ho scelto a caso è buona.
quindi
Tutte (o quasi) le arance della cassetta sono buone.
Anche questo argomento è rischioso, ma meno di (A).
Giulia sceglie sei arance a caso; una, ma solo una, è marcia; così Giulia compra la cassetta a metà prezzo. Un suo argomento è:
(C) Fra queste sei arance che ho scelto a caso cinque sono buone e una è marcia.
quindi
Le arance nella cassetta sono in maggioranza (ma non tutte) buone.
L’argomento (C) si basa su più dati rispetto a (B), ma non è valido. È vero che Giulia ha scelto sei arance a caso e cinque erano buone, ma potrebbe essere stata fortunata. Forse la maggioranza di quelle che restano è marcia.
CAMPIONI E POPOLAZIONI
Esistono molti tipi di argomento rischioso, ma (A)-(C) hanno tutti la stessa forma di base:
Affermazione su un campione preso da una certa popolazione.
da cui
Affermazione sull’insieme della popolazione.
Che cos’è la logica induttiva?
Potremmo procedere anche nella direzione opposta: io potrei già sapere che quasi tutte le arance nella cassetta sono buone e prenderne quattro a caso per spremerle e ricavarne un bel bicchiere di succo, facendo questo ragionamento:
Tutte o quasi tutte le arance di questa cassetta sono buone.
Queste quattro arance sono state prese a caso dalla cassetta.
quindi
Queste quattro arance sono buone.
Anche questo è un argomento rischioso: anche se le arance sono quasi tutte buone, potrei averne presa una marcia. A ogni modo, qui la forma dell’argomento è la seguente:
Affermazione su una popolazione.
da cui
Affermazione su un campione.
Possiamo anche andare da campione a campione:
Queste quattro arance che ho scelto a caso sono buone.
quindi
Anche le prossime quattro arance che sceglierò a caso saranno buone.
La forma di quest’ultimo argomento è:
Affermazione su un campione.
da cui
Affermazione su un nuovo campione.
LE PROPORZIONI
Possiamo cercare di rendere più precisi i nostri argomenti. Abbiamo un certo numero di arance, sessanta in ogni cassetta; una persona prudente potrebbe dire, invece di “quasi tutte”, “il 90% “, nel qual caso i suoi argomenti si presenterebbero così:
Queste quattro arance, che ho scelto a caso da una cassetta che ne contiene sessanta, sono buone.
quindi
Almeno il 90% (cioè cinquantaquattro) di queste arance sono buone.
Almeno il 90% (cioè cinquantaquattro) delle arance in questa cassetta sono buone.
Queste quattro arance sono state prese a caso dalla cassetta.
quindi
Queste quattro arance sono buone.
Queste quattro arance, che ho scelto a caso da una cassetta che ne contiene sessanta, sono buone.
quindi, probabilmente, saranno buone anche le prossime quattro che prenderò a caso.
Possiamo assegnare valori numerici alle probabilità? Sarebbe un modo per vedere quali argomenti sono più rischiosi e quali meno, e qui useremo le idee probabilistiche per studiare il rischio.
La probabilità è uno strumento fondamentale della logica induttiva.
Faremo solo i calcoli probabilistici strettamente necessari per chiarirci le idee: il centro di questo articolo sono le idee, non i numeri.
La logica induttiva fa uso delle probabilità, ma non tutti gli argomenti che fanno uso di probabilità sono induttivi, e non tutti gli argomenti in cui compaiono parole come “probabile” o “probabilmente” sono rischiosi. La probabilità può essere trattata come un concetto matematico rigoroso, e la matematica è una scienza deduttiva; inoltre, facciamo deduzioni in cui usiamo le probabilità. Basandoci sulle leggi fondamentali, o assiomi, della probabilità deduciamo altre proposizioni probabilistiche vere.
Ecco una deduzione probabilistica molto semplice:
Questo dado ha sei facce contrassegnate con i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ogni faccia è ugualmente probabile (l’uscita di una faccia qualsiasi è altrettanto verosimile di quella di qualsiasi altra) . quindi
La probabilità di ottenere un 4 è uguale a 1 /6.
Questo argomento è valido. Lo sapete già: la somma complessiva delle probabilità è uguale a l.
Sapete intuitivamente che quando certi eventi sono reciprocamente esclusivi ( in ogni lancio, solo una faccia del dado può finire in alto) ed esaustivi (una delle sei deve pur finire in alto) la somma delle probabilità è pari a l.
Perché l’argomento è valido? Date le leggi fondamentali della probabilità, ogni volta che le premesse di un argomento di questa forma sono vere deve esserlo anche la conclusione.
Ecco un altro argomento probabilistico valido:
Questo dado ha sei facce contrassegnate con i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ogni faccia è ugualmente probabile.
quindi
La probabilità di ottenere un 3 oppure un 4 è pari a 1/3.
Anche se non avete mai studiato le probabilità, sapete che si sommano: se due eventi sono reciprocamente esclusivi (se può verificarsi il primo oppure il secondo, ma non tutti e due contemporaneamente), la probabilità che si verifichi uno dei due è uguale alla somma delle loro probabilità singole.
Date le leggi fondamentali della probabilità, ogni volta che le premesse di un argomento di questa forma sono vere deve esserlo anche la conclusione. In altre parole, l’argomento è valido.
I due argomenti appena enunciati sono entrambi validi. Osservate quanto sono diversi da quello che segue:
Questo dado ha sei facce contrassegnate con i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6.
In una successione di 227 lanci il 4 è uscito esattamente 38 volte.
quindi
La probabilità di ottenere un 4 con questo dado è di circa 1 /6.
Questo è un argomento rischioso: la conclusione potrebbe essere falsa anche nel caso che le premesse siano vere; per esempio, il dado potrebbe essere truccato in modo da rendere il 4 “difficile”, in modo da dargli una probabilità, poniamo, di 1/8, solo che negli ultimi 227 lanci siamo riusciti a ottenere 4 per 1/6 quasi esatto delle volte per puro caso.
UN ALTRO GENERE DI ARGOMENTO RISCHIOSO
La probabilità è uno strumento fondamentale della logica induttiva, ma abbiamo appena visto che
• esistono anche argomenti probabilistici deduttivamente validi.
Analogamente,
• molti tipi di argomenti rischiosi non hanno necessariamente a che fare con le probabilità.
In un argomento rischioso possono esserci anche altre cose oltre alla logica induttiva; la quale, è vero, studia gli argomenti rischiosi, ma forse non tutti i generi di argomenti rischiosi. Supponiamo che qualcuno osservi:
Nella nostra università è raro che la maggioranza degli studenti di un corso propedeutico molto affollato consegua il massimo dei voti, ma in uno di questi corsi è capitato.
Si tratta di un fatto strano, che deve essere spiegato. Una delle spiegazioni possibili è che il docente sia “di manica larga “:
Quasi tutti gli studenti di questo corso hanno conseguito il massimo dei voti.
quindi
Il docente deve essere di manica larga.
Che cos’è la logica induttiva?
Qui non operiamo un’inferenza da campione a popolazione, o da popolazione a campione: stiamo proponendo un’ipotesi che spiega i fatti osservati. Potrebbero però esservi spiegazioni diverse:
Quasi tutti gli studenti di questo corso hanno avuto il massimo dei voti.
quindi
Il corso era frequentato da studenti molto dotati.
quindi
Il docente è un ottimo insegnante.
quindi
L’ argomento del corso è di gran lunga troppo facile per studenti ben preparati.
Ciascuno di questi argomenti si conclude con una spiegazione plausibile del fatto, veramente curioso, che quasi tutti gli studenti del corso hanno conseguito il massimo dei voti.
L’INFERENZA ALLA SPIEGAZIONE MIGLIORE
Ciascuno degli argomenti che abbiamo appena discusso inferisce una spiegazione plausibile; se una di queste spiegazioni è molto più plausibile di tutte le altre,l’argomento è un’inferenza alla spiegazione migliore.
Molti ragionamenti scientifici sono inferenze alla spiegazione migliore; e secondo alcuni filosofi tutte le volte che raggiungiamo una conclusione teorica inferiamo la spiegazione migliore. La cosmologia, per esempio, cambiò radicalmente intorno al 1967, quando molti accettarono la teoria dell’origine dell’universo dal Big Bang. Secondo tale teoria, l’universo è nato con uno “scoppio” gigantesco verificatosi in un momento preciso del passato. Perché si è raggiunta questa stupefacente conclusione? Perché due radioastronomi hanno scoperto che nello spazio è distribuita uniformemente in tutte le direzioni una “radiazione di fondo” a bassa frequenza rilevabile con i radiotelescopi, e la spiegazione migliore della sua esistenza è che questa radiazione di fondo è una delle conseguenze del Big Bang.
DEFINIZIONE GENERALE DELLA LOGICA INDUTTIVA
La logica induttiva analizza gli argomenti rischiosi usando idee probabilistiche.
LA TEORIA DELLA DECISIONE
Il ragionamento ha anche un altro versante, ovvero la decisione: non ragioniamo solo su quello che dobbiamo credere e non credere, ma anche su quello che dobbiamo fare.
La teoria probabilistica del ragionamento pratico si chiama “teoria della decisione”, ed è molto vicina alla logica induttiva.
Decidiamo che cosa fare in base a due fattori:
• quello che secondo noi probabilmente accadrà (le nostre credenze), e
• quello che vogliamo (i nostri valori).
La teoria della decisione ha a che fare sia con le probabilità sia con i valori; misuriamo questi ultimi con le cosiddette “utilità “.
DEFINIZIONE GENERALE DELLA TEORIA DELLA DECISIONE
La teoria della decisione analizza le decisioni rischiose usando le idee di probabilità e utilità.
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