Quando si parla di inflazione, una delle domande più semplici da formulare è anche una delle più difficili da tradurre in un unico numero: quanto sono aumentati i prezzi?

Il problema nasce dal fatto che non compriamo un solo prodotto, ma un insieme molto diverso di beni e servizi. Il prezzo del caffè può aumentare mentre quello della benzina diminuisce, un abbonamento può rincarare mentre un altro rimane invariato e, soprattutto, le quantità acquistate possono cambiare proprio perché cambiano i prezzi.

L’indice di Laspeyres affronta il problema in un modo preciso: mantiene fissa la composizione del paniere dell’anno base e misura quanto costerebbe quello stesso paniere ai prezzi del periodo corrente.

La domanda a cui risponde può quindi essere formulata così:

Quanto costa oggi lo stesso paniere di beni e servizi che acquistavo nell’anno base?

Questa idea, apparentemente semplice, è alla base di numerose applicazioni statistiche ed economiche, dagli indici dei prezzi al consumo al deflazionamento delle grandezze monetarie.

A cosa serve concretamente

L’indice di Laspeyres può essere utilizzato ogni volta che vogliamo confrontare il costo di un paniere mantenendone fissa la composizione.

Ambito	A cosa serve	Esempio
Misurazione dei prezzi	Misurare come cambia il costo di un paniere	Confrontare il costo di un paniere tra due anni
Indicizzazione	Adeguare valori monetari sulla base dell’evoluzione dei prezzi	Contratti, affitti o altre clausole di revisione
Deflazionamento	Separare, almeno in parte, la componente dei prezzi dalla variazione nominale	Trasformare un fatturato nominale in un valore a prezzi costanti
Potere d’acquisto	Confrontare la crescita di un reddito con quella dei prezzi	Salario +2% e prezzi +5%
Analisi aziendale	Misurare l’aumento dei costi a parità di struttura del paniere	Materie prime, carburante, manutenzione
Analisi economica	Costruire misure sintetiche dell’evoluzione dei prezzi	Confronti temporali tra diversi periodi

Gli indici ufficiali dei prezzi al consumo utilizzano metodologie più articolate rispetto alla semplice formula di un Laspeyres a base fissa presentata in questo articolo, perché devono gestire aggiornamento dei pesi, cambiamenti dei prodotti, qualità e altri aspetti statistici. La logica del paniere ponderato rimane però fondamentale per comprendere come vengono costruite queste misure.

La logica in formula

Indichiamo con:

• [math]p_i^0[/math] il prezzo del bene [math]i[/math] nell’anno base;
• [math]q_i^0[/math] la quantità del bene [math]i[/math] nell’anno base;
• [math]p_i^t[/math] il prezzo del bene [math]i[/math] nel periodo corrente.

L’indice di Laspeyres dei prezzi è:

[math]\displaystyle I_L^{t/0}=\frac{\sum_i p_i^t q_i^0}{\sum_i p_i^0 q_i^0}\times100[/math]

La caratteristica fondamentale è rappresentata da [math]q_i^0[/math]: le quantità rimangono quelle dell’anno base.

Al numeratore calcoliamo quanto costerebbe oggi il paniere dell’anno base, mentre al denominatore calcoliamo quanto costava quello stesso paniere nell’anno base.

Per questo motivo l’indice può essere letto come:

costo del paniere di ieri ai prezzi di oggi / costo dello stesso paniere ai prezzi di ieri.

Come si interpreta il risultato

Se otteniamo:

[math]\displaystyle I_L=100[/math]

il costo del paniere è uguale a quello dell’anno base.

Se:

[math]\displaystyle I_L=120[/math]

lo stesso paniere costa il 20% in più rispetto all’anno base.

Se:

[math]\displaystyle I_L=95[/math]

lo stesso paniere costa il 5% in meno rispetto all’anno base.

È importante non confondere quest’ultima situazione con la deflazione. Un indice inferiore a 100 significa che il livello dei prezzi del paniere è inferiore a quello dell’anno base; per parlare di diminuzione dei prezzi in un determinato periodo bisogna invece confrontare due periodi consecutivi o comunque due periodi specifici.

Una piccola mappa per orientarsi

Prima di affrontare gli esercizi, conviene fissare la differenza tra i principali indici dei prezzi.

Se voglio sapere…	Indice
Quanto costa oggi il paniere dell’anno base?	Laspeyres
Quanto sarebbe costato nell’anno base il paniere acquistato oggi?	Paasche
Come combinare le informazioni di Laspeyres e Paasche?	Fisher
Come gestire un paniere che cambia progressivamente nel tempo?	Indice concatenato

La differenza non è soltanto una questione di formule, perché cambiare il paniere significa cambiare la domanda economica alla quale l’indice risponde.

Perché Laspeyres è utile?

Il vantaggio principale di Laspeyres è che mantiene fissa la struttura del paniere. Se conosco già le quantità dell’anno base, per calcolare l’indice mi servono essenzialmente i prezzi correnti.

Questa caratteristica rende l’indice particolarmente utile quando vogliamo confrontare periodi diversi utilizzando una struttura di riferimento comune.

C’è però anche un limite importante: le persone e le imprese possono cambiare ciò che acquistano proprio in risposta alle variazioni dei prezzi.

Se la carne aumenta molto di prezzo, per esempio, una famiglia potrebbe comprarne meno e aumentare il consumo di pasta o verdure. Laspeyres continua invece a utilizzare le quantità dell’anno base e quindi non registra immediatamente questo cambiamento nella composizione del paniere.

Da qui nasce il problema dell’effetto di sostituzione.

I principali limiti dell’indice di Laspeyres

Laspeyres non deve essere interpretato come una misura perfetta del costo della vita.

Il primo limite riguarda la sostituzione: se i consumatori modificano il proprio paniere in risposta ai prezzi, l’indice a quantità fisse non registra direttamente questo comportamento.

Il secondo riguarda la rappresentatività del paniere. Più ci allontaniamo dall’anno base, più è possibile che alcuni beni siano diventati poco rilevanti, che altri siano comparsi e che altri ancora siano scomparsi.

Un terzo problema riguarda la qualità. Se un prodotto aumenta di prezzo perché è diventato significativamente migliore, l’aumento osservato non può essere interpretato automaticamente come un semplice aumento del prezzo di un bene identico.

Per queste ragioni, nella statistica ufficiale gli schemi di ponderazione vengono aggiornati e vengono utilizzate metodologie specifiche per affrontare prodotti nuovi, prodotti sostituiti e variazioni qualitative.

---

Esercizio 1 — Il bar di quartiere

Scenario

Il bar “Da Lucia” vuole misurare quanto è cambiato il costo del proprio paniere tra il 2022 e il 2024, mantenendo fisse le quantità vendute nel 2022.

Prodotto	Prezzo 2022 [math]p^0[/math]	Quantità 2022 [math]q^0[/math]	Prezzo 2024 [math]p^t[/math]
Caffè espresso	1,10 €	5.000	1,30 €
Cornetto	1,20 €	3.000	1,50 €
Cappuccino	1,50 €	2.000	1,80 €

Richiesta

Calcola l’indice di Laspeyres 2024/2022 e interpreta il risultato.

Soluzione

Calcoliamo prima la spesa del paniere ai prezzi dell’anno base:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^0q^0 &= (1{,}10\cdot5000)+(1{,}20\cdot3000)+(1{,}50\cdot2000)\\
&=5.500+3.600+3.000\\
&=12.100\ €.
\end{aligned}[/math]

Ora calcoliamo quanto costerebbe lo stesso paniere ai prezzi del 2024:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^tq^0 &= (1{,}30\cdot5000)+(1{,}50\cdot3000)+(1{,}80\cdot2000)\\
&=6.500+4.500+3.600\\
&=14.600\ €.
\end{aligned}[/math]

L’indice è quindi:

[math]\displaystyle I_L^{2024/2022} = \frac{14.600}{12.100}\times100 = 120{,}66.[/math]

Il risultato indica che il paniere del 2022, acquistato ai prezzi del 2024, costa circa il 20,66% in più rispetto al 2022.

Il numero non significa che ogni prodotto sia aumentato del 20,66%, perché i tre prezzi hanno avuto variazioni differenti. Il 20,66% è una variazione aggregata, ottenuta tenendo conto anche del peso economico delle diverse voci nel paniere.

Domanda di riflessione

Se al posto delle quantità [math]q^0[/math] utilizzassimo le quantità del 2024, otterremmo lo stesso valore? Quale indice costruiremmo in quel caso?

---

Esercizio 2 — L’abbonamento digitale

Scenario

Una famiglia ha un paniere di abbonamenti mensili. Nel 2021 spendeva quanto indicato nella tabella. Nel 2024 l’indice di Laspeyres è pari a 125. Il prezzo della rivista nel 2024 non è noto: possiamo ricavarlo dall’indice?

Servizio	[math]p^0[/math] 2021	[math]q^0[/math]	[math]p^t[/math] 2024
Netflix	10,00 €	1	15,00 €
Spotify	10,00 €	1	12,00 €
Palestra	50,00 €	1	55,00 €
Rivista	5,00 €	2	?

Soluzione

La spesa del paniere ai prezzi del 2021 è:

[math]\displaystyle \sum p^0q^0 = 10+10+50+(5\cdot2) = 80\ €.[/math]

Sappiamo che:

[math]\displaystyle I_L = \frac{\sum p^tq^0}{\sum p^0q^0}\times100 = 125.[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \sum p^tq^0 = 80\cdot1{,}25 = 100\ €.[/math]

I contributi già conosciuti sono:

[math]\displaystyle 15+12+55=82\ €.[/math]

La rivista deve quindi contribuire per:

[math]\displaystyle 100-82=18\ €.[/math]

Poiché le quantità sono due:

[math]\displaystyle 2p_{\text{rivista}}^{2024}=18,[/math]

da cui:

[math]\displaystyle p_{\text{rivista}}^{2024}=9\ €.[/math]

Il prezzo della rivista è quindi passato da 5 € a 9 €.

Un altro modo di leggere Laspeyres

L’indice può anche essere scritto come una media ponderata dei rapporti tra prezzi:

[math]\displaystyle I_L = \sum_i w_i \frac{p_i^t}{p_i^0} \times100,[/math]

dove:

[math]\displaystyle w_i = \frac{p_i^0q_i^0}{\sum_i p_i^0q_i^0}.[/math]

In altre parole, un aumento di prezzo non pesa allo stesso modo per tutti i prodotti: una voce che rappresentava una quota importante della spesa dell’anno base avrà un peso maggiore nell’indice.

Domanda di riflessione

Se l’indice fosse stato 95, cosa potremmo dire del costo del paniere rispetto al 2021? E se fosse stato esattamente 100?

---

Esercizio 3 — L’azienda di logistica

Scenario

Una società di trasporti vuole confrontare il costo del proprio paniere operativo nel 2023 e nel 2024, utilizzando il 2019 come anno base.

Voce	[math]p^{2019}[/math]	[math]q^{2019}[/math]	[math]p^{2023}[/math]	[math]p^{2024}[/math]
Carburante	1,45 €	10.000	1,85 €	1,78 €
Pneumatici	120 €	20	145 €	155 €
Manutenzione	45 €	200	58 €	62 €

Richiesta

Calcola [math]I_L^{2023/2019}[/math] e [math]I_L^{2024/2019}[/math], poi determina la variazione del costo del paniere tra il 2023 e il 2024.

Soluzione

Il denominatore, comune ai due indici, è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^{19}q^{19} &= (1{,}45\cdot10.000)+(120\cdot20)+(45\cdot200)\\
&=14.500+2.400+9.000\\
&=25.900\ €.
\end{aligned}[/math]

Per il 2023:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^{23}q^{19} &= (1{,}85\cdot10.000)+(145\cdot20)+(58\cdot200)\\
&=18.500+2.900+11.600\\
&=33.000\ €.
\end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle I_L^{2023/2019} = \frac{33.000}{25.900}\times100 = 127{,}41.[/math]

Per il 2024:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^{24}q^{19} &= (1{,}78\cdot10.000)+(155\cdot20)+(62\cdot200)\\
&=17.800+3.100+12.400\\
&=33.300\ €.
\end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle I_L^{2024/2019} = \frac{33.300}{25.900}\times100 = 128{,}57.[/math]

Per confrontare direttamente 2024 e 2023 possiamo utilizzare il rapporto tra i due indici, perché hanno la stessa base:

[math]\displaystyle \frac{I_L^{2024/2019}}{I_L^{2023/2019}} = \frac{33.300}{33.000} = 1{,}0091.[/math]

La variazione è quindi circa:

[math]\displaystyle +0{,}91\%.[/math]

Il risultato è interessante perché il prezzo del carburante è diminuito, mentre pneumatici e manutenzione sono aumentati. L’indice aggregato tiene conto dei differenti pesi economici delle tre voci e mostra che, nel complesso, il costo del paniere è aumentato dello 0,91%.

Domanda di riflessione

L’indice 2024/2019 è 128,57. Significa che ogni singola voce è aumentata del 28,57%?

No: l’indice sintetizza le variazioni delle diverse componenti attraverso le loro ponderazioni. Il valore aggregato non deve essere confuso con la variazione di ciascun prezzo.

---

Esercizio 4 — Laspeyres e Paasche a confronto

Scenario

Una famiglia modifica le proprie abitudini alimentari tra l’anno base e il 2024. La carne e il pesce diventano più costosi e la famiglia ne riduce il consumo, aumentando invece quello di pasta e verdure.

Prodotto	[math]p^0[/math]	[math]q^0[/math]	[math]p^t[/math]	[math]q^t[/math]
Pasta	1,20 €	100	1,60 €	110
Carne	12,00 €	20	16,00 €	12
Verdure	2,00 €	60	2,40 €	85
Pesce	15,00 €	8	19,00 €	5

Richiesta

Calcola l’indice di Laspeyres e quello di Paasche, quindi confrontali.

Soluzione: Laspeyres

Con Laspeyres utilizziamo le quantità dell’anno base:

[math]\displaystyle \sum p^0q^0 = 120+240+120+120 = 600\ €.[/math]

Ai prezzi correnti:

[math]\displaystyle \sum p^tq^0 = 160+320+144+152 = 776\ €.[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle I_L = \frac{776}{600}\times100 = 129{,}33.[/math]

Soluzione: Paasche

Paasche utilizza invece le quantità correnti:

[math]\displaystyle \sum p^0q^t = 132+144+170+75 = 521\ €.[/math]

e:

[math]\displaystyle \sum p^tq^t = 176+192+204+95 = 667\ €.[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle I_P = \frac{667}{521}\times100 = 128{,}02.[/math]

I due indici sono quindi:

[math]\displaystyle I_L=129{,}33[/math]

e

[math]\displaystyle I_P=128{,}02.[/math]

La differenza è:

[math]\displaystyle 129{,}33-128{,}02=1{,}31[/math]

punti indice.

Che cosa ci racconta la differenza?

La famiglia ha ridotto proprio i consumi dei prodotti che sono aumentati maggiormente di prezzo: la carne passa da 20 a 12 unità e il pesce da 8 a 5.

Laspeyres continua a utilizzare le quantità dell’anno base e quindi attribuisce ancora alla carne e al pesce il peso che avevano inizialmente. Paasche, utilizzando le quantità correnti, incorpora invece la nuova composizione del paniere.

La differenza tra i due indici può quindi fornire un’indicazione dell’importanza dei cambiamenti nella struttura dei consumi, ma non deve essere interpretata automaticamente come una misura pura del substitution bias.

E Fisher?

L’indice di Fisher combina i due risultati attraverso la media geometrica:

[math]\displaystyle I_F=\sqrt{I_LI_P}.[/math]

Nel nostro esempio:

[math]\displaystyle I_F = \sqrt{129{,}33\cdot128{,}02} \approx128{,}67.[/math]

Fisher si colloca quindi tra i due indici nel caso considerato.

Questo non significa che Fisher rappresenti automaticamente il “vero” costo della vita: significa che utilizza contemporaneamente l’informazione contenuta nelle ponderazioni dell’anno base e in quelle del periodo corrente.

Domanda di riflessione

Se dovessi costruire un indice per un determinato problema economico, quale domanda vorresti che il numero rispondesse?

Il punto non è scegliere meccanicamente l’indice più alto o quello più basso, ma capire quale struttura del paniere è coerente con la domanda che stiamo ponendo.

---

Esercizio 5 — Riferimento e deflazionamento

Scenario

Un’azienda tessile ha un indice dei prezzi di produzione con base 2015 = 100.

Nel 2020 l’indice valeva 105, mentre nel 2024 vale 121.

Il fatturato nominale è stato:

• 4.000.000 € nel 2020;
• 4.800.000 € nel 2024.

Vogliamo capire quanto del cambiamento del fatturato può essere attribuito alla variazione dei prezzi e quanto rimane dopo aver corretto il valore nominale.

Richieste

1. Calcola l’indice 2024 con base 2020.
2. Calcola la variazione dei prezzi tra 2020 e 2024.
3. Deflaziona il fatturato 2024.
4. Calcola la crescita reale rispetto al 2020.

Soluzione

Possiamo riportare l’indice alla base 2020 utilizzando il rapporto tra i due indici con base 2015:

[math]\displaystyle I^{2024/2020} = \frac{121}{105}\times100 = 115{,}24.[/math]

Tra il 2020 e il 2024 il livello dei prezzi considerato dall’indice è quindi aumentato del:

[math]\displaystyle +15{,}24\%.[/math]

Dal fatturato nominale al fatturato reale

Il fatturato 2024 è espresso in euro del 2024, mentre vogliamo confrontarlo con il fatturato 2020 utilizzando il livello dei prezzi del 2020.

Dividiamo quindi il valore nominale per il fattore di variazione dei prezzi:

[math]\displaystyle F_{\text{reale,2024}} = \frac{4.800.000}{1{,}1524} \approx4.165.289\ €.[/math]

Il fatturato reale 2024, espresso in euro 2020, è quindi circa 4,17 milioni di euro.

La crescita reale rispetto ai 4 milioni del 2020 è:

[math]\displaystyle g_{\text{reale}} = \frac{4.165.289-4.000.000}{4.000.000} \approx4{,}13\%.[/math]

Il fatturato nominale, invece, è cresciuto del:

[math]\displaystyle g_{\text{nominale}} = \frac{4.800.000-4.000.000}{4.000.000} = 20\%.[/math]

Il confronto mostra perché è importante distinguere crescita nominale e crescita reale. Il fatturato è aumentato del 20% in termini monetari, ma dopo aver corretto per l’aumento dei prezzi la crescita risulta pari a circa il 4,13%.

La formula esatta della relazione tra crescita nominale, inflazione e crescita reale è:

[math]\displaystyle g_{\text{reale}} = \frac{1+g_{\text{nominale}}}{1+\pi} -1.[/math]

L’approssimazione:

[math]\displaystyle g_{\text{reale}}\approx g_{\text{nominale}}-\pi[/math]

fornisce in questo caso:

[math]\displaystyle 20\%-15{,}24\%=4{,}76\%,[/math]

che è vicina ma non uguale al valore esatto.

Domanda di riflessione

Possiamo sempre ottenere un indice 2024/2020 semplicemente dividendo due indici con base 2015?

Il calcolo del rapporto permette di cambiare base numerica, ma non bisogna confondere questa operazione con la proprietà di circolarità di un indice. In generale, gli indici di Laspeyres non soddisfano la circolarità in senso stretto quando le ponderazioni cambiano tra i periodi.

---

Esercizio 6 — Quando il paniere cambia: l’indice concatenato

Scenario

Un’azienda di arredamento modifica progressivamente il proprio catalogo. Nel 2020 vende sedie, tavoli e armadi; nel 2022 introduce i divani e nel frattempo continua a vendere sedie e tavoli.

Vogliamo costruire un indice concatenato per seguire l’evoluzione dei prezzi tra il 2020 e il 2024.

Anno	Voce	Prezzo	Quantità
2020	Sedie	50 €	200
2020	Tavoli	300 €	30
2020	Armadi	500 €	10
2022	Sedie	55 €	220
2022	Tavoli	340 €	32
2022	Armadi	560 €	10
2022	Divani	800 €	15
2024	Sedie	58 €	—
2024	Tavoli	360 €	—
2024	Divani	850 €	—

L’obiettivo non è utilizzare un unico paniere immutabile per quattro anni, ma costruire una sequenza di confronti in cui il paniere viene aggiornato.

Primo anello: 2020 → 2022

Con il paniere 2020:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^{20}q^{20} &= (50\cdot200)+(300\cdot30)+(500\cdot10)\\
&=10.000+9.000+5.000\\
&=24.000\ €.
\end{aligned}[/math]

Ai prezzi del 2022:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^{22}q^{20} &= (55\cdot200)+(340\cdot30)+(560\cdot10)\\
&=11.000+10.200+5.600\\
&=26.800\ €.
\end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle I_L^{2022/2020} = \frac{26.800}{24.000} = 1{,}11667.[/math]

In forma indice:

[math]\displaystyle I_L^{2022/2020}\approx111{,}67.[/math]

Secondo anello: 2022 → 2024

Ora il paniere viene aggiornato. Utilizziamo quindi le quantità del 2022, che comprendono anche i divani.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^{22}q^{22} &= (55\cdot220)+(340\cdot32)+(800\cdot15)\\
&=12.100+10.880+12.000\\
&=34.980\ €.
\end{aligned}[/math]

Ai prezzi del 2024:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum p^{24}q^{22} &= (58\cdot220)+(360\cdot32)+(850\cdot15)\\
&=12.760+11.520+12.750\\
&=37.030\ €.
\end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle I_L^{2024/2022} = \frac{37.030}{34.980} = 1{,}05861.[/math]

Concatenamento

Per collegare i due periodi moltiplichiamo i due fattori:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
I_L^{2024/2020} &= 1{,}11667\cdot1{,}05861\\
&\approx1{,}18211.
\end{aligned}[/math]

Espresso come numero indice:

[math]\displaystyle I_L^{2024/2020}\approx118{,}21.[/math]

L’interpretazione è che, secondo questa catena di confronti, il costo del paniere è aumentato complessivamente di circa il 18,21% tra il 2020 e il 2024.

Perché concatenare?

Con un paniere fisso del 2020 avremmo bisogno anche del prezzo 2024 degli armadi. Nel nostro esempio questo dato non è disponibile e, inoltre, gli armadi non fanno più parte del paniere corrente.

L’indice concatenato permette di aggiornare progressivamente la struttura del paniere, passando da:

[math]\displaystyle 2020\rightarrow2022[/math]

e poi da:

[math]\displaystyle 2022\rightarrow2024.[/math]

Il vantaggio è che il paniere può essere aggiornato nel tempo; il rovescio della medaglia è che il risultato dipende dalla metodologia con cui viene costruita la catena e non coincide necessariamente con quello ottenuto mantenendo un unico paniere fisso.

Per questo, quando un indice viene utilizzato in una clausola contrattuale, non basta scrivere genericamente “si applica l’indice dei prezzi”. È necessario specificare almeno quale indice, quale fonte, quale periodo di riferimento, quale formula e quale modalità di aggiornamento.

---

Risposte alle domande di riflessione

Esercizio 1

Se utilizziamo le quantità correnti [math]q^t[/math], otteniamo l’indice di Paasche:

[math]\displaystyle I_P = \frac{\sum p^tq^t}{\sum p^0q^t}\times100.[/math]

La differenza fondamentale è quindi il paniere utilizzato per la ponderazione.

Laspeyres risponde alla domanda:

Quanto costa oggi il paniere dell’anno base?

Paasche risponde invece a una domanda diversa:

Quanto sarebbe costato nell’anno base il paniere che acquistiamo oggi?

Esercizio 2

Se l’indice fosse 95, il paniere considerato costerebbe il 5% in meno rispetto all’anno base.

Se fosse 100, il costo del paniere sarebbe uguale a quello dell’anno base.

Questi valori descrivono il rapporto con l’anno base; per stabilire se i prezzi sono aumentati o diminuiti tra due periodi specifici, dobbiamo confrontare direttamente gli indici dei due periodi.

Esercizio 3

L’indice 2024/2019 pari a 128,57 non significa che ogni singola voce sia aumentata del 28,57%.

Le variazioni individuali sono infatti diverse:

• carburante: circa [math]+22{,}8\%[/math];
• pneumatici: circa [math]+29{,}2\%[/math];
• manutenzione: circa [math]+37{,}8\%[/math].

Il 28,57% è una misura aggregata ottenuta combinando queste variazioni attraverso i pesi del paniere base.

Questo è uno dei motivi per cui i numeri indice sono utili: permettono di sintetizzare molte variazioni differenti in un unico valore, senza affermare che tutte le componenti si siano mosse nello stesso modo.

Esercizio 4

Laspeyres e Paasche non sono semplicemente due strumenti tra cui scegliere in base a quale produca il numero più alto o più basso.

La scelta dipende dalla domanda economica.

Se vogliamo mantenere costante la struttura del paniere dell’anno base, Laspeyres è coerente con questa impostazione.

Se vogliamo utilizzare la composizione effettivamente osservata nel periodo corrente, Paasche risponde meglio a questa diversa domanda.

Fisher combina entrambe le informazioni attraverso la media geometrica:

[math]\displaystyle I_F=\sqrt{I_LI_P}.[/math]

Nel nostro esempio:

[math]\displaystyle I_P<I_F<I_L.[/math]

Esercizio 5

La proprietà di circolarità richiederebbe:

[math]\displaystyle I^{t/0}=I^{t/s}\cdot I^{s/0}.[/math]

Un indice di Laspeyres a base fissa non soddisfa in generale questa proprietà quando le ponderazioni cambiano tra i periodi.

Nel nostro esercizio il rapporto tra 121 e 105 ci permette di esprimere il livello dell’indice 2024 rispetto al 2020, ma questo non significa che Laspeyres possieda automaticamente la proprietà di circolarità.

La distinzione è importante: cambiare la base di un numero indice attraverso un rapporto non equivale a dimostrare la circolarità dell’indice.

Esercizio 6

Se utilizzassimo un paniere diverso per il secondo anello, cambierebbero le ponderazioni utilizzate nel confronto 2022→2024 e quindi potrebbe cambiare anche il risultato finale.

Nel nostro esempio non possiamo semplicemente utilizzare il paniere 2020 per il secondo anello, perché non disponiamo del prezzo 2024 degli armadi.

La lezione generale è importante: quando il paniere cambia, la metodologia con cui vengono collegati i diversi periodi diventa parte integrante del risultato.

---

Che cosa ci insegnano questi esercizi?

I sei esercizi mostrano una progressione che va oltre la semplice applicazione della formula.

Nel primo caso abbiamo visto la domanda fondamentale di Laspeyres: quanto costa oggi il paniere di riferimento?

Nel secondo abbiamo utilizzato l’indice come equazione per ricavare un prezzo sconosciuto.

Nel terzo abbiamo visto che un numero indice può sintetizzare variazioni molto diverse e che il confronto tra due anni non-base può essere effettuato attraverso indici costruiti con la stessa base.

Nel quarto abbiamo incontrato il problema della sostituzione e abbiamo confrontato Laspeyres, Paasche e Fisher.

Nel quinto abbiamo collegato gli indici alla distinzione tra grandezze nominali e reali.

Nel sesto abbiamo visto cosa accade quando il paniere non può più rimanere immutato e diventa necessario costruire una catena di confronti.

Il punto centrale è quindi questo:

Un numero indice non è soltanto un calcolo: è una risposta quantitativa a una domanda precisa.

Cambiare il paniere, i pesi o il metodo di concatenamento significa cambiare anche ciò che il numero sta cercando di misurare.

Laspeyres, Paasche, Fisher e indice concatenato: il confronto finale

Caratteristica	Laspeyres	Paasche	Fisher	Concatenato
Quantità utilizzate	Anno base	Periodo corrente	Base + corrente	Paniere aggiornato lungo la catena
Domanda principale	Quanto costa oggi il paniere base?	Quanto sarebbe costato ieri il paniere corrente?	Come combinare i due approcci?	Come seguire i prezzi quando il paniere cambia?
Effetto della sostituzione	Non viene incorporato direttamente	Viene incorporato attraverso [math]q^t[/math]	Tiene conto di entrambe le strutture	Dipende dalla metodologia della catena
Base	Fissa	Corrente	Entrambe	Mobile/aggiornata
Utilità didattica	Molto alta	Molto alta	Confronto tra metodi	Analisi di serie più lunghe

Non esiste quindi un indice che sia semplicemente “il migliore” in assoluto. Ogni formula incorpora una diversa scelta su quale paniere utilizzare e quale confronto effettuare.

Una regola utile da ricordare

Se devi ricordare una sola cosa dell’indice di Laspeyres, ricorda questa:

[math]\displaystyle \boxed{I_L=\frac{\text{costo del paniere base ai prezzi correnti}}{\text{costo dello stesso paniere ai prezzi base}}\times100}[/math]

Il paniere non cambia: cambiano i prezzi.

Se invece cambiano anche le quantità, la domanda economica diventa diversa e possiamo passare a Paasche, Fisher o a un indice concatenato.

In sintesi

L’indice di Laspeyres permette di misurare la variazione del costo di un paniere mantenendo fisse le quantità dell’anno base.

Se l’indice vale 120, il paniere considerato costa il 20% in più rispetto all’anno base; se vale 95, costa il 5% in meno.

Il suo punto di forza è la semplicità della struttura a paniere fisso, mentre il principale limite consiste nel fatto che non registra direttamente le sostituzioni che avvengono quando cambiano i prezzi.

Il confronto con Paasche permette di mettere in evidenza il ruolo della composizione del paniere, mentre Fisher combina le due prospettive. Quando la struttura dei beni cambia nel tempo, il concatenamento permette di costruire una sequenza di confronti aggiornando progressivamente il paniere.

La domanda da porsi, prima ancora di scegliere una formula, rimane quindi sempre la stessa:

Che cosa voglio realmente misurare?

Una volta chiarito questo punto, la formula dell’indice diventa molto più facile da interpretare.