Studio di una funzione: funzioni razionali fratte. Esercizi svolti

Studio di funzioni razionali fratte

Studiare le seguenti funzioni FINO alla derivata prima, tracciarne il grafico ed indicare gli eventuali punti di minimo e massimo (sono locali o assoluti?).

ESERCIZIO 1:

SOLUZIONE:

Classificazione.

E una funzione razionale fratta, poichè la variabile indipendente x compare anche al denominatore della frazione.

Dominio.

Poichè nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere:

x² + x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2; x ≠ 1

Il dominio della funzione è

D_f = ] − ∞; −2[  ∪  ] − 2; 1[  ∪  ]1; +∞[

Intersezioni con gli assi.

Con l’asse y abbiamo:

 

Con l’asse x abbiamo:

Pertanto la funzione interseca gli assi nei punti di coordinate:

Segno:

Comportamento della funzione in punti particolari del dominio.

I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono −2, 1, −∞, +∞.
Abbiamo che:

Avendo ottenuto due risultati infiniti per x tendente ad un valore finito (da destra e da sinistra), si può concludere che la retta di equazione

x = −2 è un asintoto verticale per la funzione.

Abbiamo che:

Avendo ottenuto due risultati infiniti per x tendente ad un valore finito (da destra e da sinistra), si può concludere che

la retta di equazione x = 1 è un asintoto verticale per la funzione.

Possiamo concludere che la funzione ammette come asintoto orizzontale la retta
y = −5.

Studio della derivata prima.

Abbiamo che:

Possiamo concludere che:

IL GRAFICO:

ESERCIZIO 2:

Classificazione.

E una funzione razionale fratta, poichè la variabile indipendente x compare anche al denominatore della frazione.
Dominio.

Poichè nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere:

x + 5 ≤ 0 ⇒ x≤ −5.
Il dominio della funzione è  D_f =  ] − ∞; −5[∪] − 5; +∞[

Intersezioni con gli assi.

Con l’asse y abbiamo:

Con l’asse x abbiamo:

 

Segno

Comportamento della funzione in punti particolari del dominio.

I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono −5, −∞, +∞.
Abbiamo che:

Avendo ottenuto due risultati infiniti per x tendente ad un valore finito (da destra e da sinistra), si può concludere che

la retta di equazione x = −5 è un asintoto verticale per la funzione.

Similmente si ha:

Calcolando i limiti per x tendente all’infinito si sono ottenuti valori infiniti: di conseguenza si può affermare che la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l’asintoto obliquo.

La funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = mx + q se esistono finiti i seguenti limiti:

 

Abbiamo che

Analogamente:

Dunque m = 1.

Infine, abbiamo che

Similmente si ha:

Dunque q = −5. Possiamo concludere che la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = x − 5.

Studio della derivata prima.

Abbiamo che:

Studiamo il segno della derivata prima:

Grafico probabile.

 

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