Esercizi riepilogativi risolti sugli integrali – 2-

Un integrale risolto con le formule di duplicazione ed il metodo di sostituzione

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Esercizio 1

Si calcoli l’integrale

 

Soluzione

L’integranda è continua su tutto R.

Calcoliamo quindi una primitiva F dell’integranda e valutiamo poi la quantità F(5π/2) – F(2π).

A causa delle formule di duplicazione del seno si ha immediatamente:

Ricordiamo le formule di duplicazione:

L’integrale riscritto così riscritto suggerisce di individuare la derivata della funzione arctan.
Per prima cosa raccogliamo il 9 a denominatore.

Si trova:

Moltiplicheremo e divideremo l’integranda per il fattore 1/3.

Si ha quindi:

Posto (per comodità) c = 0, valutiamo F(5π/2) – F(2π).

Si ha:

 

Un integrale risolto utilizzando il metodo di integrazione per parti

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Esercizio 2

Si calcoli l’integrale

 

Soluzione

L’integranda è continua nell’intervallo di integrazione [0, 1/2].

Cominciamo quindi a calcolare una primitiva F(x).

Conviene vedere l’integranda come segue:

Procediamo con la formula di integrazione per parti, derivando la funzione arcsin x e integrando la funzione x · (1 − x²)^−1/2.

L’integrale

 

e presto calcolato ponendo

1 − x² = y

Si ricava

−2x dx = dy

Moltiplicando e dividendo l’integranda per −2 troviamo

Abbiamo quindi lo schema:

da cui:

Posto c = 0 abbiamo che l’integrale definito di partenza vale

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