Integrale generalizzato
L’integrale di Riemann ha come “soggetti” principali
-intervalli limitati [a; b]
-funzioni limitate su [a; b] (o su (a; b)…);
Vogliamo generalizzare la definizione di integrale (ed eventualmente il suo calcolo) al caso di
-funzione f illimitata su (a; b)
-intervallo di integrazione illimitato (a; +1), (; b]
-funzione illimitata su intervallo illimitato
in modo, ad esempio, da dare senso anche all’area di regioni illimitate
Integrale generalizzato per funzioni non limitate
Sia f : I = [a; b) → R tale che f ∈ R([a; x]) per ogni x ∈ [a; b).
Diremo che f è integrabile in senso generalizzato (o improprio) su I o che
Se il limite non esiste o è infinito diremo rispettivamente che l’integrale è
esempio
Esistein senso generalizzato?
Integrale generalizzato del valore assoluto di una funzione
Se f è Riemann integrabile su un intervallo [a; b] anche il suo modulo lo è. Per l’integrale generalizzato le cose vanno diversamente.
Abbiamo comunque la seguente proposizione
Proposizione
ATTENZIONE! il viceversa non è vero
Dimostrazione
Mostriamo che
La convergenza del primo integrale si può provare in maniera semplice ragionando così. Dobbiamo mostrare che esiste finito
[elementor-template id=”11338″]
(173)