Integrali impropri
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TEORIA in sintesi
Nel caso in cui la funzione assegnata non sia continua nell’intervallo di integrazione, oppure almeno uno degli estremi di integrazione non sia finito si parla di INTEGRALE IMPROPRIO.
In sostanza l’integrale improprio rappresenta l’estensione del concetto di integrale definito per funzioni che presentino un numero finito di punti discontinuità nell’intervallo di integrazione, oppure per funzioni il cui intervallo di integrazione risulti illimitato.
Gli integrali impropri si classificano in:
1. Integrali impropri di I tipo o specie se almeno uno degli estremi di integrazione non è finito.
2. Integrali impropri di II tipo o specie se nell’intervallo di integrazione si ha almeno un punto di discontinuità.
3. Integrali impropri che sono contemporaneamente di I e II tipo.
INTEGRALI IMPROPRI DI PRIMO TIPO
Sono integrali che hanno uno o entrambi gli estremi di integrazione non finiti. Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo finito e poi si passa al limite facendo tendere all’infinito uno o entrambi gli estremi di integrazione:
In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:
1) Se il valore del limite è finito si dice che la funzione è integrabile in senso improprio o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è convergente . (Carattere convergente)
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide FINITA
2) Se il valore del limite è infinito si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è divergente . (Carattere divergente)
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide INFINITA
3) Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è indeterminato. (Carattere indeterminato)
Interpretazione geometrica ⇒ Nulla si può affermare sulla’area del trapezoide
INTEGRALI IMPROPRI DI SECONDO TIPO
Sono integrali che presentano almeno un punto di discontinuità nell’intervallo di integrazione. Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo di completa continuità e poi si passa al limite facendo tendere a zero uno o entrambi i parametri utilizzati nei nuovi estremi di integrazione:
In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:
1) Se il valore del limite è finito si dice che la funzione è integrabile in senso improprio o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere convergente .
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide FINITA
2) Se il valore del limite è infinito si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere divergente .
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide INFINITA
3) Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere indeterminato.
Interpretazione geometrica ⇒ Nulla si può affermare sulla’area del trapezoide
Integrale generalizzato per funzioni non limitate
Si dimostra che:
è integrabile in senso generalizzato se e solo se α < 1.
Dimostrazione
Ovviamente per α ≤ 0 la funzione è integrabile secondo Riemann in senso “classico”.
Analogamente:
Come stabilire l’integrabilità in senso improprio di funzioni più complicate (di cui non si riesce a trovare esplicitamente una primitiva)?
Il criterio del confronto
Nota bene: Lo enunciamo per intervalli [a; b), dove b può anche essere 1, ma vale in tutte le salse.
dimostrare (i) ((ii) è analogo:
Per la monotonia dell’integrale
dove F è una funzione monotona crescente e limitata superiormente: quindi ammette limite finito.
Esempio:
Dal criterio del confronto discende, come prevedibile, il seguente
Criterio del confronto asintotico
Esempio:
ESERCIZIO 1
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo [0, +∞) . Inoltre, per x → +∞, si ha
Per il criterio del confronto asintotico, la funzione f(x) è integrabile in senso improprio sull’intervallo di integrazione e l’integrale converge.
ESERCIZIO 2
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo [1, +∞) . Inoltre, per x → +∞, si ha
Per il criterio del confronto asintotico, la funzione f(x) è integrabile in senso improprio sull’intervallo di integrazione e l’integrale converge.
ESERCIZIO 3
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo [1, +∞) . Inoltre, per x → +∞, si ha
Per il criterio del confronto asintotico, la funzione f(x) non è integrabile in senso improprio sull’intervallo di integrazione e l’integrale non converge.
ESERCIZIO 4
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo (0, 1] .
Qui trovi tutto sulle formule di Taylor e MacLaurin
Per il criterio del confronto asintotico, la funzione f(x) non è integrabile in senso improprio sull’intervallo di integrazione e l’integrale non converge.
ESERCIZIO 5
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo (0, +∞) . Inoltre, agli estremi dell’intervallo, si ha:
L’integrale non converge.
ESERCIZIO 6
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo (0, +∞) . Inoltre, agli estremi dell’intervallo, si ha:
L’integrale converge.
ESERCIZIO 7
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo (0, +∞) . Inoltre, poichè la funzione arcotangente è limitata e ex ≥ x2 per ogni x ≥ 0 , si ha:
Quindi l’integrale converge assolutamente. Di conseguenza, l’integrale converge.
ESERCIZIO 8
Stabilire se il seguente integrali improprio converge.
SOLUZIONE
La funzione integranda f(x) è continua e positiva sull’intervallo (0, +∞) . Inoltre, per x → +∞, si ha:
L’integrale non converge.
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