Si risolva la disequazione
|x -1| < |x+ 1|
Soluzione
Se x ≥ 1 i due valori assoluti scompaiono: x -1 < x+l è verificata per ogni x.
Se -1 ≤ x < 1, allora la disequazione diventa: 1-x < x+l che ha soluzioni x > 0.
Se infine x < -1, la disequazione diventa 1-x < -1-x, che e impossibile.
In conclusione la disequazione e soddisfatta se e solo se si ha x > 0.
Metodo alternativo.
La disequazione equivale a
(x -1)2 < (x+ 1)2
cioè a
-2x+ 1 < 2x+ 1
che e verificata se e solo se x > 0.
Esercizio 2
Si stabilisca per quali x il trinomio
P(x) = – x2-x-2
è ≥ 0.
Soluzione
P(x) ha discriminante D = 1-8 < 0. Pertanto P(x) < 0 per ogni x.
Ricordiamo che:
Esercizio 3
Si risolva la disequazione
| 4x|≥ |1-x|
e si interpreti geometricamente il risultato.
Soluzione
Se 4x ≥ 0 e 1 – x ≥ 0, ovvero 0 ≤ x ≤ 1, la disequazione equivale a 4x ≥ 1 – x , ossia x ≥ 1/5 .
Se 4x ≥ 0 e 1 – x ≤0, ovvero x ≥ 1, la disequazione equivale a 4x ≥ x – 1 , ossia x ≥ -1/3 .
Se 4x ≤ 0 e 1 – x ≥ 0, ovvero x ≤ 0, la disequazione equivale a – 4x ≥ 1 – x , ossia x≤ – 1/3 .
Se 4x ≤ 0 e 1 – x ≤ 0, la disequazione e impossibile.
La disequazione e pertanto soddisfatta da x≤ – 1/3 e x ≥ 1/5.
Interpretazione geometrica.
Le funzioni f(x) = 4x e g(x) = 1-x hanno come grafico, rispettivamente, le rette y = 4x, y = 1 -x:
Dunque le funzioni |f( x)| e |g(x)| hanno i grafici illustrati nella figura seguente:
Gli x per cui |f( x) | ≥| g(x) | sono quei punti dell’asse x per cui il grafico di |f( x) | sta al di sopra del grafico di | g(x) |, cioè i punti segnati +++ in figura.
Esercizio 4
Si risolva la disequazione ex< a (con a> 0) e si interpreti geometricamente il risultato.
Soluzione
Si ha x < ln a.
Interpretazione geometrica.
Gli x per cui ex< a sono quei punti dell’asse x la cui ordinata sulla curva y = ex e minore dell’ordinata sulla curva y = a.
Esercizio 5
Si risolva la disequazione
ln x < a
e si interpreti geometricamente il risultato.
Soluzione
Si ha x < ea.
lnterpretazione geometrica.
Gli x per cui ln x < a sono quei punti dell’asse x la cui ordinata sulla curva y = ln x è minore dell’ordinata sulla curva y = a.
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