Tutto quello che devi sapere sulle disequazioni ( II parte)

Prima un breve ripasso:

Potenze

Esponente intero e razionale

Esponente intero positivo.

Sia a un numero reale qualunque, e sia n un intero positivo. Si definisce aⁿ come il prodotto di n fattori, tutti uguali ad a. Pertanto

Esponente intero negativo.

Sia a un numero reale ≠ 0, e sia n un intero positivo.

Esponente nullo.

Sia a un numero reale ≠ 0. Si pone

Radice n-esima.

Sia n un intero positivo. Si hanno allora due casi.
• Se n è dispari ed a è un numero reale qualunque, si dice radice n-esima di a l’unico numero reale x tale che xⁿ = a.
• Se n è pari ed a è un numero reale ≥ 0, si dice radice n-esima di a l’unico numero reale x ≥ 0 tale che xⁿ= a.

In entrambi i casi scrive:

ATTENZIONE!

Le radici di indice dispari hanno senso qualunque sia il segno dell’argomento; inoltre la radice ha lo stesso segno dell’argomento.
Le radici di indice pari hanno senso solo se l’argomento è ≥ 0, ed hanno come risultato sempre un numero ≥ 0.

Sembra facile!

Sia a ≥ 0. Nel definire √a, abbiamo assunto che esista un unico x ≥ 0 tale che x² = a. L’unicità  è abbastanza semplice da dimostrare; l’esistenza invece non è per niente banale, e si basa profondamente sulle proprietà dei numeri reali.
Stesso discorso vale per le radici n-esime.

Esponente razionale.

Sia a un numero reale positivo, e siano m ed n interi, con n = 0. Si pone allora

Se m/n > 0 si può estendere la definizione al caso a = 0 ponendo 0^m/n = 0.

ATTENZIONE!

La formula

avrebbe senso anche per valori a < 0 purchè n sia dispari o m sia pari. Tuttavia per a < 0 si produrrebbero dei fenomeni strani, come il seguente:

Per questo motivo il caso a < 0 non viene considerato.

Esponente reale

Sia a un numero reale positivo, e sia b un numero reale qualunque. Allora è possibile definire in modo univoco un numero reale a^b in modo che siano verificate le proprietà di cui ai tre punti successivi (uguaglianze e disuguaglianze).

Proprietà algebriche delle potenze.

Siano a e b numeri reali positivi. Allora

Disuguaglianze a base fissa ed esponente variabile.

Siano x e y numeri reali. Allora

Disuguaglianze a base variabile ed esponente fisso.

Siano a e b numeri reali positivi. Allora

Proprietà dei radicali.

Per ricordare le proprietà dei radicali, basta pensarli come potenze frazionarie (dimenticando per un attimo il segno dell’argomento). Pertanto:

Equazioni con radici

Equazioni con una radice quadrata.

Una equazione del tipo

è equivalente al sistema

dove
• la disequazione al primo posto ricerca i valori di x per i quali la radice ha senso;
• la disequazione al secondo posto ricerca i valori di x per i quali il termine a destra nell’equazione iniziale è≥ 0 (per gli altri valori di x l’uguaglianza iniziale è sicuramente falsa in quanto a sinistra c’è una quantità ≥ 0, a destra una quantità< 0);
• l’equazione al terzo posto deriva da quella iniziale facendo i quadrati (operazione che conduce ad una equazione equivalente purchè i termini che si elevano al quadrato siano entrambi positivi ).
Nel risolvere tale sistema possiamo ignorare la prima disequazione (che per questo è stata riquadrata), in quanto segue automaticamente dall’equazione al terzo posto.

Equazioni con pi`u radici quadrate.

Una equazione del tipo

è equivalente al sistema

dove il significato delle equazioni e disequazioni che compaiono in tale sistema è analogo al caso precedente. Come prima possiamo ignorare la prima disequazione, in quanto segue automaticamente dall’equazione al terzo posto.
Ora la disequazione al secondo posto e l’equazione al terzo posto contengono a loro volta delle radici (ma solo una), e quindi vanno risolte a parte riapplicando il procedimento.

Radici n-esime di indice pari.

Tutti i discorsi che abbiamo fatto per equazioni con radici quadrate valgono, mutatis mutandis, per equazioni con radici di indice pari.

Radici n-esime di indice dispari.

Le radici con indici dispari si possono eliminare impunemente (cioè senza imporre condizioni) elevando a potenze opportune.

Disequazioni con radici

Disequazioni con una radice, caso 1.

Una disequazione del tipo

 

è equivalente al sistema

dove
• la disequazione al primo posto ricerca i valori di x per i quali la radice ha senso;
• la disequazione al secondo posto ricerca i valori di x per i quali il termine a destra nella disequazione iniziale è ≥ 0 (per gli altri valori di x la disequazione iniziale è sicuramente falsa in quanto a sinistra c’è una quantità ≥ 0, a destra una quantità < 0);
• la disequazione al terzo posto deriva da quella iniziale facendo i quadrati (operazione che conduce ad una disequazione equivalente purchè i termini che si elevano al quadrato siano entrambi positivi ).

Disequazioni con una radice, caso 2.

Una disequazione del tipo

è equivalente all’unione dei due sistemi

Infatti

• il primo sistema individua i valori di x per cui la radice ha senso ed il termine a destra della disequazione iniziale è < 0 (in questo caso la disequazione iniziale è automaticamente soddisfatta);
• il secondo sistema individua i valori di x per cui la radice ha senso ed il termine a destra è ≥ 0: in tal caso è possibile elevare entrambi i membri della disequazione iniziale al quadrato, ottenendo una disequazione equivalente.
Pertanto per risolvere la disequazione iniziale non resta che risolvere separatamente i due sistemi e poi considerare l’unione delle soluzioni. Da notare che nella risoluzione del secondo sistema si può ignorare la prima disequazione (riquadrata), in quanto segue dalla terza.

Disequazioni con più radici.

Il piano per trattare disequazioni con più radici consiste nel ridurre pian piano il numero delle radici presenti mediante opportuni elevamenti al quadrato.
Ovviamente per poter fare gli elevamenti occorre imporre delle condizioni, le quali si traducono in sistemi di disequazioni contenenti a loro volta radici.

Radici n-esime.

Per disequazioni con radici n-esime valgono gli stessi discorsi fatti per le equazioni (cioè impunità per n dispari, e analogia con le radici quadrate per n pari).

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