Introduzione

Quali sono le funzioni algebriche

Le funzioni algebriche sono quelle funzioni esprimibili attraverso un numero finito di operazioni algebriche su R (addizione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice).

Sono algebriche, per esempio, le seguenti funzioni:

Vogliamo ora introdurre un nuovo tipo di funzioni, non esprimibile come le precedenti, che diremo funzioni trascendenti.

Quali sole le funzioni trascendenti

Si tratta di funzioni dette esponenziale, logaritmica e goniometrica.

Con la teoria degli sviluppi in serie (somme infinite) , anche le funzioni trascendenti si possono esprimere attraverso un numero, però infinito, di operazioni algebriche.

Per questo, in generale, il calcolo del valore di tali funzioni in un punto assegnato può avvenire solo per approssimazioni.
Per esempio, la funzione che chiameremo esponenziale in base e (numero di Nepero) f(x) = e è esprimibile attraverso la seguente somma infinita:

La funzione f(x) = e^x

È la sola funzione esponenziale che gode della proprietà che è 1 la pendenza della retta tangente al suo grafico nel punto di intersezione con l’asse y.
Questo rende la base “e” conveniente per il calcolo.

La notazione “e” per indicare tale base è dovuta ad Eulero (1727) e corrisponde alla prima lettere della parola “esponenziale”.

f(x) = a^x con a>1

Sono positive e crescenti su tutto R.
Come varia la variabile dipendente y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più?

Nel primo caso anche y aumenta sempre più, nel secondo caso, y tende verso il valore 0.

Inoltre:

Valutazione della rapidità di crescita della funzione esponenziale con a>1

esempio con f(x) = 2^x

Un foglio di carta spesso un centesimo di millimetro viene ripiegato in due parti uguale per 50 volte.
Qual è lo spessore della carta dopo questo operazione?

Risposta:

2⁵⁰·1/100 = 2⁵⁰/100 mm

che è un valore superiore a 11 miliardi di chilometri.

f(x) = a^x con 0 <a<1

Sono positive e decrescenti su tutto R.

Come varia la variabile dipendente y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più?

Nel primo caso y tende verso il valore 0, nel secondo caso, y aumenta sempre più.

Inoltre:

Riepilogando:

Tutte le funzioni esponenziali f(x) = a^x hanno in comune le seguenti caratteristiche:
– Dominio: R
– Immagine: (0, +∞) (per ogni x, a^x >0)
– Sono iniettive (elementi distinti hanno immagini distinte)
– I loro grafici passano per il punto (0, 1).

Nota:

In ogni funzione esponenziale, in corrispondenza del valore x=1 della variabile indipendente si ottiene il valore della base, ovvero f(1) = a.

Una delle ragioni dell’importanza delle funzioni esponenziali va cercata nelle sue tipiche proprietà (proprietà delle potenze).

Applicazioni delle funzioni esponenziali

Le funzioni esponenziali sono molto spesso usate come modelli matematici per descrivere numerosi fenomeni di accrescimento o di decadimento che si evolvono con continuità nel tempo come, ad esempio:
– crescita di una popolazione
– decadimento di una data sostanza radioattiva

Esempio 1

Crescita di una popolazione di batteri

• I batteri si riproducono per duplicazione, cioè ogni singolo batterio produce una copia di se stesso
• Usando questa informazione è possibile costruire un modello matematico elementare per calcolare come varia nel tempo la numerosità di una popolazione di batteri
• Per semplicità assumiamo che tutte le duplicazioni dei batteri avvengano nello stesso istante (per esempio, ogni ora).

Sia N₀ il numero iniziale di batteri. Indichiamo con N(k) la numerosità della k-esima generazione di batteri, cioè dopo k ore.

Quale sarà la legge per esprimere N(k)?

Poiché da una generazione all’altra la numerosità si raddoppia, si avrà:

ESEMPIO

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Esempio 2

Decadimento radioattivo

Se N è il numero di atomi di una data sostanza radioattiva all’istante t, allora la legge con cui N varia al variare di t è data da:

dove N₀ rappresenta il numero di atomi presenti all’istante iniziale e λ è una costante positiva, detta costante di decadimento.

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