Esercizi svolti riepilogativi sugli indici di variabilità e sull’ indice di Eterogeneità di Gini

24 Marzo 2021 matematicaoltre Esercizi svolti di Statistica, Statistica 0

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Esercizi svolti sugli indici di variabilità

Esercizi svolti riepilogativi sugli indici di variabilità 

ESERCIZIO 1
La tabella seguente riporta la distribuzione di frequenza del numero di componenti rilevato su un collettivo di famiglie.
Esprimere tutti i risultati in termini percentuali. Tolleranza massima ± 0.1.
SOLUZIONE
Qual è la frequenza relativa percentuale delle famiglie con 2 componenti?
Fi = ni/n = [1025 / (966+1025+845+726+243+97)] * 100 = (1025/3902) * 100 = 26,27
Qual è la percentuale di famiglie con meno di 3 componenti?
Fi = ni/n = [(966+1025) / (966+1025+845+726+243+97)] * 100 = (1991/3902) * 100 = 51,03
Qual è la percentuale di famiglie con almeno 4 componenti?
Fi = ni/n = [(726+243+97) / (966+1025+845+726+243+97)] * 100 = (1066/3902) * 100 = 27,32 
ESERCIZIO 2
Nella tabella seguente è riportata la distribuzione percentuale di frequenza del gruppo sanguigno in un collettivo di 1488 persone.
SOLUZIONE
Perché non è possibile costruire la distribuzione di frequenza cumulata?
Perché il carattere non è ordinabile.
Quanti soggetti hanno gruppo sanguigno A (tolleranza massima 1)?
1488 * 0,3629 = 540
ESERCIZIO 3
La Banca d’Italia conduce con cadenza biennale l’Indagine sui bilanci delle famiglie. Tra le altre cose, viene chiesto al capofamiglia se il reddito familiare consente di arrivare alla fine del mese: con molta difficoltà con difficoltà con qualche difficoltà abbastanza facilmente facilmente molto facilmente La tabella seguente riporta le risposte fornite da 27 famiglie:
Scegliere l’indice di posizione più opportuno per rappresentare il fenomeno e indicarne il valore.
SOLUZIONE
 L’indice è la mediana e il valore è “con qualche difficoltà”, perché ci sono:
con molta difficoltà = 5 con difficoltà = 4 con qualche difficoltà = 9 abbastanza facilmente = 5 facilmente = 3 molto facilmente = 1 .
La mediana di 27 è (27-1)/2 = 13, il tredicesimo valore in ordine è nel campo “con qualche difficoltà”.
ESERCIZIO 4
La tabella seguente riporta la distribuzione di frequenza percentuale dei voti all’esame di statistica per un collettivo di studenti.
Scegliere l’indice di posizione più opportuno per rappresentare il fenomeno e indicarne il valore (tolleranza massima di ± 0.1).
SOLUZIONE
Indice di posizione: media aritmetica
Valore: (18*8,3 + 19*3,6 + 20*7,6 + … + 30*4,5) / 100 = 23,7
ESERCIZIO 5
La tabella seguente riporta la distribuzione di frequenza percentuale del settore di attività economica rilevato su un insieme di 1085 occupati:
Scegliere l’indice di posizione più opportuno per rappresentare il fenomeno e indicarne il valore.
SOLUZIONE
L’indice più opportuno è la moda e il valore della moda è “industria” in quanto è il settore con più occupati tra i 1085.
ESERCIZIO 6
La tabella seguente riporta il costo medio per prescrizione farmaceutica a carico del SSN ed il numero di prescrizioni in un anno.
Tolleranza massima  ±0.1.
SOLUZIONE
Calcolare il costo medio totale:
(24,1*76101411 + 31,1*11033339 + 22,4*27319851 + 19,7*27665946) / (76101411 + … + 27665946) = 23,5
Calcolare il costo medio totale a carico del SSN se su ogni prescrizione viene imposto un ticket di 2 euro:
23,5 – 2 = 21,5
Calcolare il costo medio totale a carico del SSN ipotizzando che la Regione Lombardia e la Regione Toscana applichino un ticket di 2 euro a prescrizione, la Regione Liguria un ticket pari al 10% del costo della prescrizione e la Regione Campania non intervenga:
(22,1*76101411 + 27,99*11033339 + 20,4*27319851 + 19,7*27665946) / (76101411 + … + 27665946) = 23,5 =21,76.
ESERCIZIO 7
Nella tabella seguente è riportata la distribuzione di frequenza percentuale del numero di componenti del nucleo familiare rilevata su 1814 famiglie.
Calcolare la mediana della distribuzione.
SOLUZIONE
La mediana della distribuzione è il valore 3, infatti la mediana su una distribuzione di frequenza si trova con il valore che si ha superato il 50%.
1 → 10,1      2 → 10,1+22,4 = 32,5      3 → 32,5+27,9 = 60,4 ok
ESERCIZIO 8
Nella tabella seguente sono riportate le variazioni percentuali del prezzo di un bene nel decennio 2001-2010.
Calcolare una media delle variazioni che lasci inalterata la variazione complessiva sul periodo considerato (tolleranza massima ± 0.1).
SOLUZIONE
Risposta corretta (3,5 + 1,7 + … + 3,1 + 2,1) / 10 = 2,92
ESERCIZIO 9
Nella tabella seguente è riportato il punteggio conseguito da 12 candidati ad un test attitudinale:
Calcolare la varianza e lo scarto quadratico medio dei punteggi (tolleranza massima ± 0.1).
SOLUZIONE
media = (73+86+99+93+76+63+84+95+71+100+82+94)/12=1016/12=84,67
Calcolo la varianza e subito dopo lo scarto quadratico medio, facendo la radice quadrata della varianza:
σ² = [(73-84,67)²+(86-84,67)²+…+(94-84,67)²]/12=1580,68/12=131,72
σ=√σ²=√131,72=11,48
ESERCIZIO 10
Nel corso dell’ultimo anno il titolo A ha avuto un prezzo di mercato medio pari a 2.66 e una varianza pari a 1.54.
Sempre nello stesso periodo il titolo B ha avuto un prezzo medio pari a 4.41 e una varianza pari a 2.8.
Indicare quale indice è più opportuno per confrontare la volatilità (variabilità) dei due titoli ed indicare quello con maggiore volatilità.
SOLUZIONE
Risposta corretta:
Coefficiente di variazione.
Il titolo A
ESERCIZIO 11
La tabella seguente riporta la distribuzione dello stato civile rilevato su un collettivo di individui.
Misurare il grado di eterogeneità della distribuzione (tolleranza massima ±0.01).
SOLUZIONE
Risposta corretta:
Indice di eterogeneità di Gini
(formula indice di eterogeneità di Gini)

Indice di Eterogeneità di Gini

L’indice di Gini, è un indice che misura il grado di eterogeneità (omogeneità) in una distribuzione statistica di dati suddivisa in k categorie (le variabili qualitative) ciascuna delle quali con frequenza relativa (ni/n)


Formula dell' indice di eterogeneità di Gini

Maggiore è tale indice più i dati saranno distribuiti in maniera eterogenea tra le k modalità o ciò che è lo stesso, le k modalità hanno frequenze simili. Minore è invece IE più i dati tenderanno a distribuirsi in maniera non equa tra le k modalità.

Proprietà dell’indice di Gini

Proprietà dell' indice di eterogeneità di Gini

dunque,

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se IE=0, ovvero nel caso di minima eterogeneità, i dati sono distribuiti su un’unica modalità che ha quindi frequenza relativa massima (pari a 1);
se IE=k−1/k, ovvero nel caso di massima eterogeneità, i dati sono distribuiti equamente su tutte le k modalità, le quali hanno quindi pari frequenza relativa.

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