Regole di derivazione

Enunciamo sei teoremi, noti come regole di derivazione.

Teorema 1

Se la funzione f è derivabile e c è un qualunque numero reale, anche la funzione F = c ⋅ f è derivabile e risulta:

Derivata della somma di due funzioni derivabili

Teorema 2

Se f e g sono due funzioni derivabili ed aventi lo stesso dominio A, anche la funzione f + g è derivabile e risulta:

Derivata del prodotto di due funzioni derivabili

Teorema 3

Se f e g sono due funzioni derivabili ed aventi lo stesso dominio A, anche la funzione f ⋅ g è derivabile e risulta:

Da tale teorema segue il corollario:

Corollario

Se f, g, h, sono tre funzioni derivabili ed aventi lo stesso dominio A, anche la funzione f ⋅ g ⋅ h è derivabile e risulta:

Lo si dimostra applicando la proprietà associativa del prodotto e poi derivando:

Derivata del rapporto di due funzioni derivabili

Teorema 4

Se f e g sono due funzioni derivabili, aventi lo stesso dominio A e tali da poter costruire la funzione

anche quest’ultima è derivabile e risulta:

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Derivata della funzione inversa

Teorema 5

Sia f una funzione invertibile e continua avente per dominio un intervallo I.
Se: nel punto x₀ ∈ I essa è derivabile con f′(x₀)≠0 , allora la funzione inversa f^-1 è derivabile nel punto y₀ (immagine di x₀ secondo f)
e risulta:

Derivata della funzione composta

Teorema 6

Date due funzioni

 

con f(A) = B, consideriamo la funzione composta

Se:

• f è derivabile in x₀ ∈ A
• g è derivabile in u₀ = f(x₀)

allora g ∘ f è derivabile in x₀ e risulta

 

Il Teorema 6 ci permette di dimostrare quest’altro teorema.

Derivate di funzioni pari e dispari

Teorema 7

Se f : y = f(x) , x ∈ A ⊆ ℝ ⊂ è una funzione pari e derivabile allora la funzione derivata f ′ è una funzione dispari.
Analogamente se f è una funzione dispari e derivabile allora la funzione derivata f ′ è una funzione pari.

 

Sperimentiamo ora l’utilità dei teoremi enunciati nell’effettuare l’operazione di derivazione sulle funzioni elementari:

ESEMPIO 

Il Teorema 5 ci permette di effettuare l’operazione di derivazione sulle seguenti funzioni:

f : y = f(x) = arcsin(x)      x∈ [-1,1]

La sua funzione inversa è:

f ^-1 : x = f ^-1(y) = sin(x)    y∈ [-π/2 , π/2]

ed ha per derivata cos y;

essendo cos y≠0 in (-π/2 , π/2), per il Teorema 5, la f è derivabile in(-1, 1) e la sua derivata è:

Tenendo poi presente che (cos y)² + (sin y)² = 1, che in(-π/2 , π/2)risulta cos y > 0 e che sin y = x

abbiamo

 

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