Punti di non derivabilità

FUNZIONI DERIVABILI

Ciò significa che devono esistere finiti e coincidere i limiti:

Quindi, riepilogando, diciamo che f è derivabile in x₀ se e solo se:

PUNTI DI NON DERIVABILITA’

A seconda del tipo di negazione della (1) si hanno tre tipi di punti di non derivabilità:

PUNTO ANGOLOSO

Diciamo che x₀ è un punto angoloso per f se esistono e sono diverse derivata destra e derivata sinistra di f in x₀ e almeno una delle due è finita.

PUNTO DI CUSPIDE

Diciamo che x₀ è un punto di cuspide per f se derivata destra e derivata sinistra di f in x₀ valgono ∞ e sono di segno discorde.

Cioè:

PUNTO A TANGENTE VERTICALE

Diciamo che x₀ è un punto a tangente verticale per f se la derivata destra e la derivata sinistra di f in x₀ valgono entrambe ∞ e sono di segno concorde.
Cioè:

Ricordiamo anche l’importante teorema che collega continuità e derivabilità di una funzione f in un punto x_0:

TEOREMA

Se f è derivabile in x₀, allora f è continua in x₀.
In formule:

Non vale il viceversa.

Cioè, una funzione continua in un punto x₀ non è detto che sia derivabile in x₀.
In formule:

Si pensi ad esempio ai punti di non derivabilità appena classificati. Un punto angoloso per f è un punto in cui la funzione è continua ma non è derivabile (essendo diverse derivata destra e sinistra).

In base alla definizione data, per verificare se una funzione è derivabile in un punto x, è necessario calcolarsi derivata sx e derivata dx in x₀, vale a dire calcolarsi due limiti.
In realtà, in molti contesti, si può evitare di procedere con il calcolo dei due limiti del rapporto incrementale.
Vale infatti il seguente teorema:

TEOREMA (del limite della derivata)

Questo teorema di consente di ricondurre il calcolo della derivata sinistra e destra al calcolo del limite della derivata prima di f (calcolata con le usuali regole di derivazione) per  x→ x₀^– o  x₀⁺,a patto che tali limiti esistano.
Nel caso in cui, ad esempio, non esista

non si può concludere nulla circa il valore della derivata destra di f in x₀: per il suo calcolo bisogna procedere utilizzando la definizione (vale a dire, facendo il limite destro del rapporto incrementale).
Stesso discorso per la derivata sinistra.

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