Un problema risolto con l’uso delle derivate

ESERCIZIO 1

Considera la curva γ di equazione y= x³ = rappresentata in figura.

a. Dimostra che, scelto un qualsiasi punto A ∈ γ non coincidente con O, detto B l’altro punto di intersezione fra la retta tangente a γ in A e γ stessa, il rapporto tra le pendenze delle tangenti a γ in B e in A è uguale a 4.
b. Determina le equazioni delle rette tangenti a γ parallele tra loro e distanti 2√10 /5.
c. Determina il valore del parametro reale λ ≠ 0 in modo che la curva di equazione y  = λ lnx sia tangente alla curva γ.

SOLUZIONE

a.

Se A∈ γ , con A ≠ O , allora le sue coordinate sono : A(t, t³ ), con t≠ 0.

Poiché y'(x) = 3x² e  y'(t) = 3t²,

la retta tangente a γ in A ha equazione

y =t³ +3t²(x-t) 

Per determinare le coordinate del punto B dobbiamo risolvere il sistema:

Dal grafico vediamo che l’equazione x³ +3t²x +2t³ = 0 ha tre soluzioni reali, di cui due sono coincidenti e valgono x  = t. Ciò vuol dire che il polinomio x³-3t²x+2t³ è divisibile per (x-t)². Poiché

x³ -3t²x +2t³ = ( x-t)²(x+2t)

abbiamo che

x³ -3t²x +2t³ = 0    ⇒ ( x-t)²(x+2t) = 0 ⇒ x = t  e  x =-2t.

Perciò il punto B ha ascissa  x=-2 t.

La pendenza della retta tangente a γ in B è uguale a 3(-2t)² = 12t² e il rapporto tra le due pendenze è 12t²/3t² = 4 indipendentemente dal valore di t.

b.

Come abbiamo visto, la generica retta tangente a γ in un punto di coordinate (t,t³) ha equazione 3t²x -y -2t³ = 0.

Per la simmetria della curva rispetto all’origine O, basta imporre che la distanza di O dalla generica tangente sia uguale a

Le rette cercate sono pertanto

3x -y -2 = 0

e

3x -y +2 = 0.

c.

Perché le due curve siano tangenti, deve esistere un punto di intersezione P tra le due curve in cui le tangenti alle due curve coincidono. Perciò deve esistere t > 0, tale che:

La curva di equazione y = 3e lnx   è tangente alla curva γ nel punto P(³√e , e).

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