I limiti matematici hanno il brutto vizio di sembrare entità astratte. Formule chilometriche, forme indeterminate che spuntano fuori all’improvviso, e spesso la sensazione frustrante di stare solo applicando regolette meccaniche senza un vero perché.
Ho preparato questi sei esercizi partendo da un’idea diversa: dare un senso a quello che si calcola. Dalla temperatura di un caffè che si raffredda fino allo stress meccanico di un ponte sospeso, vedremo come affrontare le situazioni algebriche più ostiche (come lo [math]0/0[/math] o gli asintoti infiniti) partendo da scenari concreti.
Niente scorciatoie o salti logici: affronteremo ogni calcolo ragionando un passo alla volta, dal problema più intuitivo a quello più insidioso. Iniziamo.
6 Esercizi Originali (dal facile al difficile)
Esercizio 1 – La goccia di caffè
Testo
Durante una pausa, la temperatura (in °C) di una tazza di caffè nel tempo [math]t[/math] (in minuti) segue il modello
[math]\displaystyle T(t) = 20 + 15e^{-0.05t} + 0.1t^2[/math]
per [math]t \ge 0[/math].
Determina il limite della temperatura quando il tempo tende a 10 minuti (non all’infinito, ma proprio a [math]t = 10[/math]).
Quale teorema ti permette di calcolarlo banalmente?
Soluzione
Osservazione iniziale
La funzione [math]T(t)[/math] è somma di: una costante (20), un’esponenziale [math]15e^{-0.05t}[/math] (continua su [math]\mathbb{R}[/math]), e un polinomio [math]0.1t^2[/math] (continuo). Quindi l’intera funzione è continua per ogni [math]t[/math] reale, in particolare in [math]t=10[/math].
Applicazione della continuità delle funzioni elementari e dell’algebra dei limiti.
Se [math]f[/math] è continua in [math]x_0[/math], allora [math]\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)[/math]. Possiamo quindi sostituire direttamente [math]t=10[/math].
Calcolo
[math]\displaystyle \begin{aligned}
T(10) & = 20 + 15e^{-0.05 \cdot 10} + 0.1 \cdot 10^2 \\
& = 20 + 15e^{-0.5} + 0.1 \cdot 100 \\
& = 20 + 15e^{-0.5} + 10 \\
& = 30 + 15e^{-0.5}
\end{aligned}[/math]
Lasciamo così, oppure approssimiamo: [math]e^{-0.5} \approx 0.6065[/math], quindi [math]15 \cdot 0.6065 \approx 9.0975[/math], totale [math]\approx 39.10 \degree C[/math].
Conclusione
[math]\displaystyle \lim_{t \to 10} T(t) = 30 + 15e^{-0.5}[/math]
💡 Osservazione strategica
Quando la funzione è continua nel punto, la sostituzione diretta è sempre la prima mossa. È veloce, pulita e non richiede alcuna manipolazione. Verifica sempre il dominio: se il punto appartiene al dominio e la funzione è continua lì, vai di sostituzione.
Mini quiz
❓ Quale proprietà/teorema hai usato per giustificare la sostituzione diretta?
(La risposta è nella sezione finale)
Esercizio 2 – L’asintoto della produzione
Testo
In un’azienda, il costo medio (in euro) per produrre [math]x[/math] unità di un prodotto è dato da
[math]\displaystyle C(x) = \frac{x^2 – 5x + 6}{x^2 – 9}[/math]
Calcola [math]\lim_{x \to 3} C(x)[/math]. Attenzione: il punto [math]x=3[/math] non è nel dominio. Riesci a semplificare per eliminare la forma indeterminata?
Soluzione
Analisi preliminare
Sostituendo [math]x=3[/math] otteniamo numeratore: [math]9 – 15 + 6 = 0[/math], denominatore: [math]9 – 9 = 0[/math]. Forma indeterminata [math]0/0[/math]. Non possiamo applicare il teorema del quoziente direttamente perché il limite del denominatore è 0.
Fattorizzazione (strategia classica per polinomi)
Numeratore: [math]x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)[/math].
Denominatore: [math]x^2 – 9 = (x-3)(x+3)[/math].
Semplificazione (valida per [math]x \ne 3[/math], ma il limite per [math]x \to 3[/math] ignora il valore in 3)
[math]\displaystyle C(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-2}{x+3}, \quad x \ne 3[/math]
Applicazione del teorema del quoziente
Ora [math]f(x) = \frac{x-2}{x+3}[/math] è continua in [math]x=3[/math] (denominatore [math]6 \ne 0[/math]), quindi possiamo sostituire:
[math]\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+3} = \frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}[/math]
Conclusione
[math]\displaystyle \lim_{x \to 3} C(x) = \frac{1}{6}[/math]
💡 Osservazione strategica
Quando trovi [math]0/0[/math] con polinomi, la prima strada è sempre la fattorizzazione e la cancellazione del fattore comune che annulla entrambi. Ricorda: la semplificazione è lecita nel calcolo del limite perché stiamo studiando il comportamento vicino a 3, non in 3 stesso.
Mini quiz
❓ Perché possiamo semplificare [math](x-3)[/math] anche se la funzione originale non è definita in [math]x=3[/math]?
(Risposta in fondo)
Esercizio 3 – Il ponte sospeso
Testo
La deflessione (in mm) di un cavo di un ponte sotto carico è approssimata da
[math]\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x+4} – 2}{x}[/math]
calcola [math]\lim_{x \to 0} f(x)[/math]. Il punto [math]x=0[/math] non fa parte del dominio. Quale tecnica algebrica ti permette di risolvere la forma [math]0/0[/math]?
Soluzione
Sostituzione diretta
Numeratore: [math]\sqrt{0+4} – 2 = 2 – 2 = 0[/math], denominatore: 0. Forma indeterminata [math]0/0[/math].
Strategia: quando compaiono radicali, la razionalizzazione è la tecnica principe.
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il fattore razionalizzante [math]\sqrt{x+4} + 2[/math] (il coniugato del numeratore).
Sviluppo
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\sqrt{x+4} – 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4} + 2}{\sqrt{x+4} + 2} & = \frac{(x+4) – 4}{x(\sqrt{x+4} + 2)} \\
& = \frac{x}{x(\sqrt{x+4} + 2)}
\end{aligned}[/math]
Semplificazione (per [math]x \ne 0[/math])
[math]\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}[/math]
Limite
Ora la funzione è continua in 0 (denominatore [math]\sqrt{4} + 2 = 4[/math]), quindi:
[math]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}[/math]
Conclusione
[math]\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{4}[/math]
💡 Osservazione strategica
La razionalizzazione trasforma una differenza di radicali in un’espressione razionale. L’idea è: [math](a-b)(a+b) = a^2 – b^2[/math]. Scegli sempre il coniugato in modo da eliminare la radice al numeratore (o denominatore) che causa l’indeterminazione.
Mini quiz
❓ Se avessimo avuto [math]\sqrt{x+4} + 2[/math] al numeratore, come avremmo razionalizzato?
(Risposta in fondo)
Esercizio 4 – Il segnale radio disturbato
Testo
Un ingegnere analizza l’intensità di un segnale che decade con legge
[math]\displaystyle I(x) = \frac{\sin(x^2)}{x^2 + 1}[/math]
per [math]x \to +\infty[/math]. Calcola il limite.
Quale teorema è indispensabile qui?
Perché non si può usare l’algebra dei limiti in modo diretto?
Soluzione
Analisi
Il numeratore [math]\sin(x^2)[/math] oscilla tra -1 e 1 e non ha limite per [math]x \to \infty[/math]. Il denominatore [math]x^2+1[/math] tende a [math]+\infty[/math]. La forma è di tipo “oscillante limitata / infinito”. Non possiamo usare il teorema del quoziente perché il numeratore non ha limite.
Teorema del confronto (due carabinieri)
Sappiamo che per ogni [math]x[/math] reale:
[math]-1 \le \sin(x^2) \le 1[/math]
Dividendo per [math]x^2+1[/math] (positivo per ogni [math]x[/math] reale), otteniamo:
[math]\displaystyle -\frac{1}{x^2+1} \le \frac{\sin(x^2)}{x^2+1} \le \frac{1}{x^2+1}[/math]
Limiti delle funzioni “carabiniere”
[math]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{1}{x^2+1} \right) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{x^2+1} \right) = 0[/math]
Applicazione del teorema
Poiché la funzione [math]I(x)[/math] è compressa tra due funzioni che tendono a 0, allora:
[math]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} I(x) = 0[/math]
Conclusione
Il segnale si attenua a zero nonostante le oscillazioni.
💡 Osservazione strategica
Il teorema del confronto è l’unica arma per gestire limiti di funzioni che non hanno limite a causa di oscillazioni, ma sono moltiplicate per un infinitesimo. La chiave è trovare due funzioni semplici che “schiacciano” quella data e che hanno lo stesso limite.
Mini quiz
❓ Cosa succede se il denominatore fosse [math]x^2[/math] invece di [math]x^2+1[/math]? Cambierebbe il limite?
(Risposta in fondo)
Esercizio 5 – La crescita di una popolazione
Testo
Un modello di crescita prevede che, per un parametro [math]x[/math] che tende a 0, il fattore di crescita sia
[math]\displaystyle G(x) = (1 + 3x)^{1/x}[/math]
Calcola [math]\lim_{x \to 0^+} G(x)[/math] (limite destro). Attenzione: è una forma [math]1^\infty[/math]. Come puoi ricondurti al limite notevole dell’esponenziale?
Soluzione
Riconoscimento della forma
Per [math]x \to 0[/math], la base [math]1+3x \to 1[/math] e l’esponente [math]1/x \to +\infty[/math] (per [math]x>0[/math]). Forma indeterminata [math]1^\infty[/math]. L’algebra dei limiti non si applica direttamente alla potenza in questo caso.
Strategia: usare il limite notevole
[math]\displaystyle \lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e[/math]
oppure la definizione di esponenziale: [math](1+3x)^{1/x} = \exp\left( \frac{1}{x} \ln(1+3x) \right)[/math].
Applicazione del limite notevole con cambio di variabile
Poniamo [math]t = 3x[/math]. Allora [math]x = t/3[/math] e per [math]x \to 0^+[/math], anche [math]t \to 0^+[/math].
L’esponente [math]1/x = 3/t[/math]. Quindi:
[math]\displaystyle (1+3x)^{1/x} = (1+t)^{3/t} = \left[ (1+t)^{1/t} \right]^3[/math]
Limite
Per il limite notevole e per la continuità della funzione potenza (elevamento a 3, che è continua):
[math]\displaystyle \lim_{t \to 0^+} \left[ (1+t)^{1/t} \right]^3 = \left( \lim_{t \to 0^+} (1+t)^{1/t} \right)^3 = e^3[/math]
Verifica con logaritmo (alternativa)
Calcoliamo il limite del logaritmo:
[math]\displaystyle \ln G(x) = \frac{\ln(1+3x)}{x}[/math]
che per [math]x \to 0[/math] è forma [math]0/0[/math]. Usando il limite notevole [math]\ln(1+u)/u \to 1[/math] con [math]u=3x[/math], otteniamo:
[math]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\ln(1+3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3[/math]
Quindi [math]\lim G(x) = e^3[/math].
Conclusione
[math]\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (1 + 3x)^{1/x} = e^3[/math]
💡 Osservazione strategica
Per le forme [math]1^\infty[/math], [math]\infty^0[/math], [math]0^0[/math], la tecnica standard è passare al logaritmo (o usare il limite notevole [math](1+f(x))^{1/f(x)} \to e[/math] se [math]f(x) \to 0[/math]). Non applicare mai la sostituzione diretta perché ti porterebbe a [math]1^\infty[/math] che è una forma indeterminata.
Mini quiz
❓ Se la base fosse [math]1 – 3x[/math] (con [math]x \to 0^+[/math]) e l’esponente [math]1/x[/math], il limite sarebbe ancora [math]e^3[/math]?
(Risposta in fondo)
Esercizio 6 – L’interruttore difettoso (limite sinistro/destro)
Testo
Un circuito elettrico ha una corrente che varia secondo la legge a tratti:
[math]\displaystyle I(x) = \begin{cases} \frac{|x-1|}{x-1} + 2, & \text{se } x \ne 1, \\ 3, & \text{se } x = 1. \end{cases}[/math]
Calcola [math]\lim_{x \to 1} I(x)[/math], se esiste. Perché non puoi usare la sostituzione diretta? Quale teorema va applicato con attenzione?
Soluzione
Analisi della funzione
La funzione è definita in modo diverso in [math]x=1[/math] (vale 3). Per il limite, il valore in 1 non conta.
L’espressione [math]|x-1|/(x-1)[/math] è il famoso segno di [math](x-1)[/math]: vale 1 se [math]x>1[/math], -1 se [math]x<1[/math]. Quindi:
- Per [math]x > 1[/math]: [math]I(x) = 1 + 2 = 3[/math].
- Per [math]x < 1[/math]: [math]I(x) = -1 + 2 = 1[/math].
Limiti unilaterali
Limite destro ([math]x \to 1^+[/math]): in un intorno destro, la funzione è costante 3, quindi [math]\lim_{x \to 1^+} I(x) = 3[/math].
Limite sinistro ([math]x \to 1^-[/math]): in un intorno sinistro, la funzione è costante 1, quindi [math]\lim_{x \to 1^-} I(x) = 1[/math].
Confronto dei limiti unilaterali
Poiché [math]3 \ne 1[/math], il limite bilatero per [math]x \to 1[/math] non esiste.
Nota: sebbene [math]I(1)=3[/math], il limite destro coincide con 3, ma il sinistro no; quindi la funzione non è continua in 1.
Conclusione
[math]\displaystyle \nexists \lim_{x \to 1} I(x)[/math]
💡 Osservazione strategica
Le funzioni definite a tratti e quelle con valore assoluto richiedono sempre lo studio dei limiti unilaterali. Il teorema di unicità del limite ci dice che se i due limiti unilaterali esistono e sono diversi, il limite non esiste. La sostituzione diretta è vietata perché la funzione è discontinua e la formula cambia a seconda del lato.
Mini quiz
❓ Se avessimo definito [math]I(1)=2[/math], il limite bilatero esisterebbe?
(Risposta in fondo)
Risposte alle domande di riflessione
Esercizio 1
👉 Quale proprietà/teorema hai usato per giustificare la sostituzione diretta?
Risposta:
Ho usato il teorema di continuità delle funzioni elementari (polinomi, esponenziali, costanti) e il teorema dell’algebra dei limiti per la somma: il limite di una somma è la somma dei limiti, se questi esistono finiti. Poiché la funzione è composta da funzioni continue su tutto [math]\mathbb{R}[/math] e il punto [math]t=10[/math] è nel dominio, il limite coincide con il valore della funzione in quel punto. In pratica, si tratta del teorema di permanenza della continuità.
Esercizio 2
👉 Perché possiamo semplificare [math](x-3)[/math] anche se la funzione originale non è definita in [math]x=3[/math]?
Risposta:
Perché nel calcolo del limite per [math]x \to 3[/math] consideriamo solo i valori di [math]x[/math] diversi da 3, ma appartenenti a un intorno di 3. Per questi valori, la semplificazione è perfettamente lecita (il fattore [math](x-3)[/math] non è zero). Il teorema del limite non dipende dal valore puntuale in 3, quindi possiamo cancellare il fattore comune che genera l’indeterminazione.
Esercizio 3
👉 Se avessimo avuto [math]\sqrt{x+4} + 2[/math] al numeratore, come avremmo razionalizzato?
Risposta:
Se al numeratore ci fosse stato [math]\sqrt{x+4} + 2[/math] (quindi una somma di radicali), per razionalizzare avremmo moltiplicato per il suo coniugato [math]\sqrt{x+4} – 2[/math], in modo da ottenere [math](x+4) – 4 = x[/math] al numeratore, semplificando con l'[math]x[/math] al denominatore. La tecnica è sempre: moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato dell’espressione radicale che si vuole eliminare.
Esercizio 4
👉 Cosa succede se il denominatore fosse [math]x^2[/math] invece di [math]x^2+1[/math]? Cambierebbe il limite?
Risposta:
Il limite rimarrebbe 0. Infatti avremmo [math]-1/x^2 \le \sin(x^2)/x^2 \le 1/x^2[/math], e entrambi i carabinieri tendono a 0 per [math]x \to \infty[/math]. Quindi il limite è ancora 0. La presenza del +1 non è determinante per l’ordine di infinitesimo (entrambi vanno come [math]1/x^2[/math]).
Esercizio 5
👉 Se la base fosse [math]1 – 3x[/math] (con [math]x \to 0^+[/math]) e l’esponente [math]1/x[/math], il limite sarebbe ancora [math]e^3[/math]?
Risposta:
No, sarebbe [math]e^{-3}[/math]. Infatti, ponendo [math]t = -3x[/math] (che tende a [math]0^-[/math]), si ha [math](1 – 3x)^{1/x} = (1 + t)^{-3/t} = [(1+t)^{1/t}]^{-3} \to e^{-3}[/math]. In generale, per [math]x \to 0[/math], [math](1 + kx)^{1/x} \to e^k[/math], dove [math]k[/math] è un numero reale qualsiasi (positivo, negativo o nullo). Attenzione al segno: se [math]k<0[/math], il limite è [math]e^k[/math] (che è minore di 1).
Esercizio 6
👉 Se avessimo definito [math]I(1)=2[/math], il limite bilatero esisterebbe?
Risposta:
No, perché il limite bilatero dipende dal comportamento intorno a 1, non dal valore puntuale. Anche se avessimo posto [math]I(1)=2[/math] o [math]I(1)=100[/math], i limiti unilaterali sarebbero comunque 3 e 1 (diversi), quindi il limite bilatero non esisterebbe. Il valore in un punto non influisce sull’esistenza del limite, a meno che non si tratti di funzioni continue (dove il limite deve coincidere con quel valore). In questo caso, la discontinuità è di tipo “salto” e non è rimuovibile.
⚠️ Gli Errori Più Comuni (e come evitarli)
Anche quando si conoscono i teoremi, è facile scivolare su alcune “bucce di banana” classiche dell’analisi matematica.
Ecco le trappole da evitare assolutamente:
❌ Sostituire “alla cieca” in una forma [math]0/0[/math]:
Se sostituendo ottieni [math]0/0[/math], non scrivere “impossibile” e non fermarti. È il segnale esatto che la funzione va manipolata (fattorizzata, razionalizzata o semplificata).
❌ Dimenticare il dominio:
Prima di tuffarti nei calcoli, devi sempre avere chiaro dove la funzione esiste. Non ha senso calcolare un limite in un punto se non ci si può nemmeno avvicinare ad esso.
❌ Applicare il confronto senza verificare le ipotesi:
Non basta trovare due funzioni a caso; devi assicurarti che “schiaccino” sempre la tua funzione nell’intorno del punto studiato e, soprattutto, che tendano allo stesso identico limite.
❌ Confondere limite e valore della funzione:
Il limite ti dice cosa succede vicino a un punto, non cosa succede esattamente in quel punto. Come abbiamo visto nell’Esercizio 6, una funzione può valere 3 ma avere un limite inesistente.
❌ Usare il teorema del quoziente quando il denominatore va a zero:
Il teorema (il limite del rapporto è il rapporto dei limiti) vale solo se il limite del denominatore è un numero diverso da zero. Se tende a zero, devi cambiare strategia.
💡 Raccomandazione finale
Prima di applicare qualsiasi teorema, chiediti:
- La funzione è continua nel punto? → sì → sostituzione.
- C’è una forma indeterminata? → sì → manipola (fattorizza, razionalizza, confronta, logaritmo).
- La funzione è definita a tratti o ha valore assoluto? → sì → limiti unilaterali.
- Il limite è all’infinito con oscillazioni? → sì → teorema del confronto.
Siamo arrivati alla fine di questa piccola maratona. Come hai visto, siamo partiti dal calore di una tazza di caffè per arrivare a smascherare l’instabilità di un interruttore elettrico. Spero che affrontare questi scenari ti abbia aiutato a vedere i limiti sotto una luce diversa: non più come un ostacolo fatto di lettere e forme indeterminate, ma come una lente d’ingrandimento per capire come si comporta la realtà quando la spingiamo, letteralmente, agli estremi.
L’analisi matematica cambia faccia quando smettiamo di applicare regole a memoria e iniziamo a chiederci il perché di ogni singolo passaggio. Che sia una scomposizione, un confronto tra funzioni o una razionalizzazione, c’è sempre una logica precisa dietro ogni mossa.
E a proposito di logica… come sono andati i mini-quiz?
Se qualche passaggio ti ha fatto storcere il naso o se hai trovato una strada diversa per risolvere uno di questi problemi… Il bello della matematica è anche questo: a volte basta guardare il problema da un’angolazione diversa per trovare la soluzione.
Per chiudere in bellezza, ecco un riepilogo strategico dei sei esercizi, con le tecniche vincenti che abbiamo usato:
| Esercizio | Tecnica principale | Perché funziona |
|---|---|---|
| 1 – La goccia di caffè | Sostituzione diretta (continuità) | La funzione è continua in [math]t=10[/math]; il limite coincide con il valore puntuale. |
| 2 – L’asintoto della produzione | Fattorizzazione e semplificazione | La forma [math]0/0[/math] si risolve cancellando il fattore comune. |
| 3 – Il ponte sospeso | Razionalizzazione | Il coniugato elimina la radice al numeratore, rivelando il limite finito. |
| 4 – Il segnale radio disturbato | Teorema del confronto (due carabinieri) | La funzione oscillante è “stretta” tra due infinitesimi che tendono a zero. |
| 5 – La crescita di una popolazione | Limite notevole con cambio di variabile | La forma si riconduce a [math]\displaystyle \lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t} = e[/math] |
| 6 – L’interruttore difettoso | Limiti unilaterali | La funzione a tratti richiede di studiare separatamente sinistra e destra. |
📚 Per approfondire: Limiti, asintoti, Taylor e strategie per affrontare le forme indeterminate
Risolvere un limite non significa applicare meccanicamente una formula, ma riconoscere la struttura matematica nascosta dietro un’espressione. La gerarchia degli infiniti, i limiti notevoli, i teoremi sui limiti, il Teorema del Confronto, gli sviluppi di Taylor e il Teorema di de l’Hôpital sono strumenti diversi che vanno scelti in base al problema. Queste guide raccolgono teoria, esercizi svolti e strategie per affrontare i limiti in modo consapevole ed efficace.
- 👉Limiti notevoli: formule fondamentali, teoria ed esempi svolti
- 👉La gerarchia degli infiniti: una giustificazione geometrica
- 👉Teoremi sui Limiti: quando usarli e quando evitarli
- 👉Usiamo i limiti notevoli per risolvere le forme di indeterminazione: esercizi svolti
- 👉Le relazioni pericolose asintotiche: quando confrontare gli infiniti diventa fondamentale
- 👉Il Teorema dei Due Carabinieri (o del Confronto): 11 esempi da studiare
- 👉Teoremi sui limiti: quando usarli e quando evitarli
- 👉Limiti e Teorema di de l’Hôpital: forme indeterminate e quando non usarlo
- 👉Gerarchia degli infiniti: come calcolare i limiti senza de l’Hôpital
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