Hai mai avuto bisogno di fare una stima rapida, di prevedere cosa succederà un attimo dopo, senza dover risolvere equazioni complesse? Che tu stia programmando un sensore, calcolando la traiettoria di un oggetto o semplicemente cercando una scorciatoia intelligente, l’idea di fondo è la stessa: trasformare un problema complicato in qualcosa di molto più semplice.
Le formule di Taylor e Maclaurin sono proprio questo: uno strumento geniale per approssimare funzioni complesse con dei semplici polinomi. Pensale come un modo per creare una “versione tascabile” di una funzione, incredibilmente precisa vicino a un punto di interesse. In questi 6 esercizi, tratti da scenari reali, vedremo come questa tecnica non sia solo un argomento da esame, ma un vero e proprio coltellino svizzero per la mente di scienziati, ingegneri e programmatori.
Esercizio 1 – Il bambino lancia il pallone
Testo: Un bambino lancia un palloncino verso l’alto. L’altezza del palloncino (in metri) dopo t secondi è data da:
[math]h(t)=1+2t-4{,}9t^2[/math]
Il bambino vuole sapere a che altezza si troverà il palloncino fra 0,1 s, utilizzando un’approssimazione di secondo grado attorno a t=0.
Svolgimento guidato
- Identifichiamo la funzione e il centro di espansione
La funzione è [math]h(t)=1+2t-4{,}9t^2[/math] e il centro è [math]t_0=0[/math]. - Punti chiave della formula di Maclaurin
Per una funzione f sufficientemente regolare, l’espansione di Maclaurin arrestata al secondo ordine è:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(t)&\approx f(0)+f'(0)\,t+\frac{f”(0)}{2}\,t^2
\end{aligned}[/math] - Calcolo delle derivate
- [math]h(0)=1[/math]
- [math]h'(t)=2-9{,}8t \Rightarrow h'(0)=2[/math]
- [math]h”(t)=-9{,}8 \Rightarrow h”(0)=-9{,}8[/math]
- Sostituzione nell’espansione
[math]\displaystyle \begin{aligned}
h(t)&\approx 1+2t-\frac{9{,}8}{2}t^2 \\
&=1+2t-4{,}9t^2
\end{aligned}[/math]
Nota: l’espansione coincide esattamente con la funzione perché h è già un polinomio di secondo grado. - Valutazione a t=0,1 s
[math]\displaystyle \begin{aligned}
h(0{,}1)&\approx 1+2(0{,}1)-4{,}9(0{,}1)^2 \\
&=1+0{,}2-0{,}049 \\
&=1{,}151\ \text{m}
\end{aligned}[/math]
Perché il polinomio di Taylor di un polinomio restituisce il polinomio stesso?
Spieghiamo in modo chiaro perché questa osservazione è vera.
L’idea di fondo è che la formula di Taylor è costruita per “copiare” il comportamento di una funzione in un punto, basandosi sulle sue derivate. Quando la funzione di partenza è già un polinomio, questo processo di “copia” finisce per ricreare il polinomio stesso in modo esatto.
1. La “Ricetta” di Taylor
La formula per costruire un polinomio di Taylor di quarto ordine (centrato in [math]x_0[/math]) è:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
T_4(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\\[4pt]
\qquad\qquad+\frac{f”'(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\frac{f^{(4)}(x_0)}{4!}(x-x_0)^4
\end{aligned}[/math]
La formula usa 5 “ingredienti” fondamentali: il valore della funzione e le sue prime quattro derivate, tutte calcolate nel punto [math]x_0[/math].
2. Cosa Succede quando Deriviamo un Polinomio?
Questa è la chiave di tutto. Prendiamo un generico polinomio di quarto grado, [math]f(x)[/math]:
[math]\displaystyle f(x)=c_4x^4+c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0[/math]
Ora, calcoliamo le sue derivate successive:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f'(x)&=4c_4x^3+3c_3x^2+2c_2x+c_1\\[4pt]
f”(x)&=12c_4x^2+6c_3x+2c_2\\[4pt]
f”'(x)&=24c_4x+6c_3\\[4pt]
f^{(4)}(x)&=24c_4\quad (\text{una costante!})\\[4pt]
f^{(5)}(x)&=0
\end{aligned}[/math]
Nota la cosa più importante: la quinta derivata (e tutte quelle successive) è identicamente zero.
3. L’Errore dell’Approssimazione si Annulla
Il Teorema di Taylor ci dice che la funzione originale [math]f(x)[/math] è uguale al suo polinomio di Taylor [math]T_n(x)[/math] più un termine di errore (il resto di Lagrange):
[math]f(x)=T_n(x)+R_n(x)[/math]
La formula per l’errore [math]R_n(x)[/math] dipende dalla derivata [math](n+1)[/math]-esima.
Nel nostro caso, stiamo costruendo un polinomio di quarto ordine ([math]n=4[/math]). Quindi, l’errore [math]R_4(x)[/math] dipende dalla derivata quinta, [math]f^{(5)}(\xi)[/math]:
[math]\displaystyle R_4(x)=\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}(x-x_0)^5[/math]
Ma come abbiamo appena visto, per un polinomio di quarto grado, la quinta derivata [math]f^{(5)}(x)[/math] è sempre zero, per qualsiasi valore di [math]x[/math] (e quindi anche per [math]\xi[/math]).
Di conseguenza:
[math]\displaystyle R_4(x)=\frac{0}{5!}(x-x_0)^5=0[/math]
Se il termine di errore è zero, significa che non c’è nessuna differenza tra la funzione e la sua “approssimazione”:
[math]\displaystyle f(x)=T_4(x)+0\quad\Longrightarrow\quad f(x)=T_4(x)[/math]
E se il polinomio ha grado minore di 4?
Il ragionamento è lo stesso. Se [math]f(x)[/math] è un polinomio di secondo grado, la sua terza, quarta e quinta derivata sono tutte zero. Quindi, quando costruisci il polinomio di Taylor di quarto ordine, i coefficienti dei termini con [math](x-x_0)^3[/math] e [math](x-x_0)^4[/math] saranno zero, e il resto [math]R_4(x)[/math] sarà anch’esso zero. Il risultato finale sarà di nuovo identico alla funzione di partenza.
In sintesi:
Il processo di Taylor costruisce un polinomio che ha le stesse derivate della funzione originale in un punto. Poiché le derivate di un polinomio di grado [math]N[/math] diventano zero dopo la derivata [math]N[/math]-esima, il termine di errore (che dipende da una derivata superiore) si annulla. Questo trasforma l’approssimazione in un’uguaglianza esatta.
Cos’è il centro di espansione
In parole semplici, il centro di espansione (spesso indicato con [math]x_0[/math] o [math]t_0[/math]) è il punto di riferimento che scegliamo per costruire la nostra approssimazione polinomiale di una funzione.
Pensa a un’analogia:
Immagina di voler descrivere una strada di montagna molto tortuosa (la tua funzione complicata) a un amico. Non puoi descriverla tutta perfettamente, quindi decidi di concentrarti su un punto specifico, ad esempio un tornante importante (il tuo centro di espansione).
- L’approssimazione di primo grado (la retta tangente):
Dici al tuo amico: “Guarda, esattamente in quel tornante, la strada va dritta verso nord”. Questa è una buona approssimazione, ma è precisa solo in quel punto. - L’approssimazione di secondo grado (una parabola):
Per essere più preciso, aggiungi: “In quel punto va verso nord, ma sta anche curvando leggermente verso est”. Ora hai descritto una parabola che “abbraccia” la strada molto meglio della semplice retta.
L’approssimazione sarà incredibilmente accurata vicino a quel tornante, ma diventerà sempre meno precisa man mano che te ne allontani.
Il centro di espansione, quindi, è quel “tornante”: il punto dove la nostra approssimazione è perfetta e dal quale iniziamo a costruire la nostra descrizione.
Dal punto di vista Matematico
Nella formula di Taylor:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\end{aligned}[/math]
Il centro di espansione [math]x_0[/math] ha un doppio ruolo cruciale:
- È il punto in cui si “fotografa” la funzione:
Tutti i coefficienti del polinomio dipendono dai valori della funzione e delle sue derivate calcolate esattamente nel punto [math]x_0[/math] ([math]f(x_0), f'(x_0), f”(x_0), \text{ecc.}[/math]). Questi valori sono le “istruzioni” che dicono al polinomio come deve comportarsi per assomigliare alla funzione originale in quel punto. - È il punto da cui si misura la distanza:
I termini del polinomio sono potenze di [math](x-x_0)[/math]. Questo significa che l’accuratezza dell’approssimazione dipende da quanto [math]x[/math] è vicino a [math]x_0[/math]. Se [math]x=x_0[/math], tutti i termini [math](x-x_0)[/math] si annullano e il polinomio vale esattamente [math]f(x_0)[/math]. L’approssimazione è perfetta. Più [math]x[/math] si allontana da [math]x_0[/math], più l’errore tende a crescere.
Perché è importante sceglierlo bene?
La scelta del centro di espansione [math]x_0[/math] è strategica e dipende da due fattori:
- Vicinanza: Dovresti scegliere un centro il più vicino possibile al punto in cui vuoi fare la tua stima. Se vuoi stimare il valore di una funzione in [math]x=1.1[/math], un centro in [math]x_0=1[/math] sarà molto meglio di un centro in [math]x_0=10[/math].
- Semplicità: Spesso si sceglie un centro in cui i calcoli delle derivate sono particolarmente semplici. Per esempio, per [math]\sin(x)[/math] o [math]e^x[/math], il centro [math]x_0=0[/math] è ideale perché le derivate sono facilissime da calcolare (valgono [math]0, 1, -1[/math]).
Taylor vs Maclaurin
Quando il centro di espansione scelto è proprio [math]x_0=0[/math], il polinomio di Taylor prende il nome speciale di polinomio di Maclaurin. È solo un caso particolare, ma così comune e utile che gli è stato dato un nome proprio.
In sintesi:
Il centro di espansione 📍 è il punto di “contatto perfetto” tra la funzione originale e il polinomio che la approssima. È il fulcro attorno al quale si costruisce l’intera approssimazione e dove l’errore è nullo.
Domanda di riflessione: Cosa succederebbe se volessimo approssimare a quarto grado? Quanto cambierebbe il risultato?
Esercizio 2 – Il barista misura la schiuma del cappuccino
Testo: Il volume di schiuma (in centilitri) che fuoriesce da una macchina espresso nei primi 3 secondi è modellato da:
[math]V(t)=\ln(1+2t)[/math]
Il barista vuole una formula semplice per stimare il volume fra 0,5 s usando un polinomio di Taylor di terzo grado attorno a t=0.
Svolgimento guidato
- Centro di espansione: [math]t_0=0[/math]
- Formula di Maclaurin al terzo ordine
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(t)\approx f(0)+f'(0)\,t+\frac{f”(0)}{2}\,t^2+\frac{f^{(3)}(0)}{6}\,t^3
\end{aligned}[/math] - Derivate successive
- [math]f(t)=\ln(1+2t) \Rightarrow f(0)=0[/math]
- [math]f'(t)=\dfrac{2}{1+2t} \Rightarrow f'(0)=2[/math]
- [math]f”(t)=\dfrac{-4}{(1+2t)^2} \Rightarrow f”(0)=-4[/math]
- [math]f^{(3)}(t)=\dfrac{16}{(1+2t)^3} \Rightarrow f^{(3)}(0)=16[/math]
- Costruzione del polinomio
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_3(t)&=0+2t-\frac{4}{2}t^2+\frac{16}{6}t^3 \\
&=2t-2t^2+\frac{8}{3}t^3
\end{aligned}[/math] - Stima a t=0,5 s
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_3(0{,}5)&=2(0{,}5)-2(0{,}5)^2+\frac{8}{3}(0{,}5)^3 \\
&=1-0{,}5+\frac{1}{3} \\
&\approx 0{,}833\ \text{cL}
\end{aligned}[/math] - Controllo con valore esatto
[math]V(0{,}5)=\ln(2)\approx 0{,}693[/math]
L’errore relativo è circa [math]\frac{0{,}833-0{,}693}{0{,}693}\approx 20\%[/math].
Domanda di riflessione: Quanto dovrebbe essere piccolo t affinché l’errore relativo sia sotto il 5 %?
Esercizio 3 – Il termometro digitale
Testo: La temperatura interna di un forno (in °C) segue la legge
[math]T(x)=100\bigl(1-e^{-x/10}\bigr)[/math]
dove x è il tempo in minuti. Il tecnico vuole un’espansione di Taylor centrata in x=0 per stimare T(1 min) con un errore strettamente inferiore a 0,5 °C. Determinare l’ordine minimo necessario.
Svolgimento guidato
- Centro e funzione: [math]x_0=0,\quad f(x)=100\!\left(1-e^{-x/10}\right)[/math]
- Derivate di Maclaurin
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(0)&=0 \\[2mm]
f'(x)&=\frac{100}{10}\,e^{-x/10}=10\,e^{-x/10}\Rightarrow f'(0)=10 \\[2mm]
f”(x)&=-\frac{100}{100}\,e^{-x/10}=-e^{-x/10}\Rightarrow f”(0)=-1 \\[2mm]
f”'(x)&=\frac{1}{10}\,e^{-x/10}\Rightarrow f”'(0)=0{,}1 \\[2mm]
&\vdots \\[2mm]
f^{(k)}(0)&=(-1)^{k+1}\frac{100}{10^k}=(-1)^{k+1}10^{2-k}
\end{aligned}[/math] - Polinomio di ordine n
[math]\displaystyle \begin{aligned}
T_n(x)=10x-\frac{1}{2}x^2+\frac{0{,}1}{6}x^3-\frac{0{,}01}{24}x^4+\dots
\end{aligned}[/math] - Stima dell’errore (teorema di Lagrange)
Il resto di Lagrange è
[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_n(1)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,1^{\,n+1}\right|,\qquad 0<\xi<1
\end{aligned}[/math]
Poiché [math]|f^{(k)}(x)|=\dfrac{100}{10^k}\,e^{-x/10}\le 10^{2-k}[/math] per ogni [math]x\ge 0[/math], otteniamo
[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_n(1)|\le\frac{10^{2-(n+1)}}{(n+1)!}= \frac{10^{1-n}}{(n+1)!}
\end{aligned}[/math] - Ricerca dell’ordine minimo
- n=1:
[math]\displaystyle |R_1(1)|\le\frac{10^{1-1}}{2!}=\frac{1}{2}=0{,}5[/math]L’errore è minore o uguale a 0,5 °C, ma la specifica richiede strettamente inferiore. Quindi n=1 non è sufficiente. ❌ - n=2:
[math]\displaystyle |R_2(1)|\le\frac{10^{1-2}}{3!}=\frac{0{,}1}{6}\approx0{,}0167[/math]Poiché 0,0167 < 0,5, l’errore è già ben al di sotto della tolleranza richiesta. ✅
Pertanto l’ordine minimo necessario è 2.
- n=1:
Esercizio 4 – Il drone in volo
Testo: L’altitudine (in metri) di un drone in funzione del tempo t (secondi) è:
[math]h(t)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)[/math]
Il pilota automatico vuole un’espansione di Taylor centrata in t=1 s fino al quarto ordine per predire l’altitudine a 1,2 s.
Svolgimento guidato
- Centro: [math]t_0=1[/math]
- Derivate in t=1
- [math]h(1)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12[/math]
- [math]h'(t)=\frac{\pi}{6}\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)\Rightarrow h'(1)=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\sqrt3}{2}[/math]
- [math]h”(t)=-\Bigl(\frac{\pi}{6}\Bigr)^2\sin\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)\Rightarrow h”(1)=-\frac{\pi^2}{72}[/math]
- [math]h”'(t)=-\Bigl(\frac{\pi}{6}\Bigr)^3\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)\Rightarrow h”'(1)=-\frac{\pi^3\sqrt3}{1296}[/math]
- [math]h^{(4)}(t)=\Bigl(\frac{\pi}{6}\Bigr)^4\sin\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)\Rightarrow h^{(4)}(1)=\frac{\pi^4}{2592}[/math]
- Polinomio di Taylor
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_4(t)=\frac12 &+ \frac{\pi\sqrt3}{12}(t-1) – \frac{\pi^2}{144}(t-1)^2 \\
&-\frac{\pi^3\sqrt3}{7776}(t-1)^3 + \frac{\pi^4}{62208}(t-1)^4
\end{aligned}[/math] - Valutazione a t=1,2
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_4(1{,}2)&=\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{12}(0{,}2)-\frac{\pi^2}{144}(0{,}2)^2-\dots \\
&\approx 0{,}5+0{,}0907-0{,}0027-0{,}0002+0{,}0000 \\
&\approx 0{,}5878\ \text{m}
\end{aligned}[/math] - Confronto con valore esatto
[math]h(1{,}2)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\cdot1{,}2\right)=\sin(0{,}2\pi)\approx 0{,}5878[/math]
L’errore è inferiore a 0,0001 m.
Domanda di riflessione: Per quale valore di t il polinomio di quarto ordine fornisce un’approssimazione esatta (errore nullo)?
Esercizio 5 – Il pH di una soluzione tampone
Testo: La concentrazione di ioni [math]\text{H}^+[/math] in una soluzione tampone varia con la temperatura (in °C) secondo:
[math]\text{pH}(T)=6{,}1+0{,}024\,(T-25)-0{,}00035\,(T-25)^2[/math]
Il chimico vuole un’espansione di Taylor attorno a T=20 °C fino al quarto ordine per stimare il pH a 18 °C e calcolare l’errore massimo.
Svolgimento guidato
-
- Cambio di variabile: poniamo [math]x=T-20[/math], così il centro è [math]x_0=0[/math]. Allora:
[math]f(x)=6{,}1+0{,}024\,(x-5)-0{,}00035\,(x-5)^2[/math]
- Calcolo delle derivate in x=0
- [math]f(0)=6{,}1-0{,}12-0{,}00875=5{,}97125[/math]
- [math]f'(x)=0{,}024-0{,}0007\,(x-5)\Rightarrow f'(0)=0{,}024+0{,}0035=0{,}0275[/math]
- [math]f”(x)=-0{,}0007\Rightarrow f”(0)=-0{,}0007[/math]
- [math]f^{(k)}(x)=0[/math] per [math]k\ge 3[/math]
- Polinomio di Taylor
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_4(x)=5{,}97125+0{,}0275\,x-\frac{0{,}0007}{2}\,x^2
\end{aligned}[/math] - Stima a T=18 °C ⇒ [math]x=-2[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_4(-2)&=5{,}97125+0{,}0275(-2)-0{,}00035(4) \\
&=5{,}97125-0{,}055-0{,}0014 \\
&=5{,}91485
\end{aligned}[/math] - Valore esatto e errore
[math]\text{pH}(18)=6{,}1+0{,}024(-7)-0{,}00035(49)=5{,}91485[/math]
L’espansione coincide perché la funzione è polinomiale di secondo grado.
Domanda di riflessione: Se la funzione avesse avuto un termine [math](T-25)^3[/math], come cambierebbe il numero di derivate non nulle?
Esercizio 6 – Il segnale radio decadente
Testo: L’intensità di un segnale radio in funzione della distanza d (km) è:
[math]I(d)=\frac{1}{1+d^2}[/math]
Un ingegnere deve stimare I(0,3 km) usando un polinomio di Taylor centrato in d=0 fino al quinto ordine e valutare l’errore con il teorema del resto.
Svolgimento guidato
- Funzione e centro: [math]f(d)=\frac{1}{1+d^2},\quad d_0=0[/math]
- Derivate di Maclaurin
- [math]f(0)=1[/math]
- [math]f'(d)=-\frac{2d}{(1+d^2)^2}\Rightarrow f'(0)=0[/math]
- [math]f”(d)=\frac{6d^2-2}{(1+d^2)^3}\Rightarrow f”(0)=-2[/math]
- [math]f”'(d)=\frac{24d(1-d^2)}{(1+d^2)^4}\Rightarrow f”'(0)=0[/math]
- [math]f^{(4)}(d)=\frac{24(1-10d^2+5d^4)}{(1+d^2)^5}\Rightarrow f^{(4)}(0)=24[/math]
- [math]f^{(5)}(d)=\dots\Rightarrow f^{(5)}(0)=0[/math]
- Polinomio di Maclaurin di quinto ordine
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_5(d)=1-\frac{2}{2!}d^2+\frac{24}{4!}d^4
=1-d^2+d^4
\end{aligned}[/math] - Stima a d=0,3 km
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_5(0{,}3)&=1-(0{,}3)^2+(0{,}3)^4 \\
&=1-0{,}09+0{,}0081 \\
&=0{,}9181
\end{aligned}[/math] - Valore esatto e errore
[math]I(0{,}3)=\frac{1}{1+0{,}09}\approx 0{,}917431[/math]
Errore assoluto: [math]|0{,}9181-0{,}917431|\approx 0{,}000669[/math] - Stima dell’errore con il teorema del resto
Il resto di Lagrange è
[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_5(d)|\le\frac{M}{(6)!}\,|d|^6
\end{aligned}[/math]
dove [math]M=\max_{0\le\xi\le 0{,}3}|f^{(6)}(\xi)|[/math].
Calcolo (omettiamo i dettagli) mostra [math]M\le 720[/math], quindi
[math]\displaystyle \begin{aligned}
|R_5(0{,}3)|\le\frac{720}{720}\,(0{,}3)^6\approx 0{,}000729
\end{aligned}[/math]
Coerente con l’errore effettivo.
Domanda di riflessione: Se volessimo un errore inferiore a 10-4, quale ordine minimo richiederebbe il polinomio di Taylor?
Mini-quiz di autovalutazione
- Quale differenza c’è fra polinomio di Maclaurin e di Taylor?
- Perché alcune derivate di ordine dispari sono nulle nell’Esercizio 6?
- Come si può ridurre l’errore di approssimazione senza aumentare l’ordine del polinomio?
(Le risposte sono deducibili dai commenti degli esercizi precedenti!)
Nella pagina successiva trovi le Risposte alle domande di riflessione ed i Commenti applicativi algli esercizi
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