🟦 Tavola Z (Normale Standard)

La maggior parte delle tavole [math]Z[/math] fornisce la probabilità cumulata: [math]P(Z \le z)[/math]. Questo significa che il numero che leggi rappresenta tutta l’area che “cade” a sinistra del tuo valore.

Come leggerla:

• Coda sinistra: Cerchi direttamente il valore di [math]z[/math].
• Coda destra: Calcoli [math]1 – P(Z \le z)[/math].
• Valore critico: Cerchi l’area nel corpo della tavola e risali ai bordi per trovare [math]z[/math].

🟩 Guida Visuale alla Tavola t di Student

🟥 Guida Visuale alla Tavola [math]\chi^2[/math] (Chi-Quadrato)

📌 STATISTICA – MINI SCHEDA DA MURO

Z – t – [math]\chi^2[/math] in formato super compatto

👀 TRUCCO VISIVO UNIVERSALE

Guarda l’area ombreggiata nel disegnino in alto nella tavola:

• A sinistra → probabilità sotto
• A destra → rarità sopra
• Centrale → aggiungi 0.50 per la coda sinistra

🧭 Z o t quando n è al limite?
Se [math]n \approx 30[/math] e sei in dubbio: Usa la t. È la scelta più sicura e metodologicamente inattaccabile.

📐 Guida all’interpolazione: L’arte del “compromesso preciso”

Ti capita spesso: il tuo esercizio ti chiede i gradi di libertà [math]df = 17[/math], ma la tavola salta da [math]15[/math] a [math]20[/math]. Che fai? Scegliere il valore più vicino è un rischio, andare a caso è vietato.

La soluzione è l’interpolazione lineare.

Capire il concetto (prima della formula)

Non guardare subito l’equazione. Immagina invece questa situazione: Stai viaggiando tra due città, Città A (che sta al km 15) e Città B (che sta al km 20). Tu ti trovi esattamente al km 17.

• Se fossi esattamente a metà strada ([math]17.5[/math]), il valore sarebbe la media esatta tra i due.
• Ma [math]17[/math] è un po’ più vicino a [math]15[/math] che a [math]20[/math].

L’interpolazione fa esattamente questo: calcola un “punto medio ponderato”. Dice alla matematica: “Visto che 17 è più vicino al 15, dammi un risultato che assomigli di più al valore del 15, spostandoti verso il 20 solo per quel pezzetto di strada che hai effettivamente percorso”. In pratica, calcoliamo la percentuale di strada percorsa tra i due punti noti e la applichiamo al valore critico.

🔢 La Formula (tradotta in italiano)

Ora che hai capito il senso, la formula non fa più paura. È solo la traduzione matematica di “parti dal valore basso e aggiungi il pezzetto di strada fatto”:

In linguaggio formale diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
V = V_1 + \frac{(df – df_1)}{(df_2 – df_1)} \cdot (V_2 – V_1)
\end{aligned}[/math]

Dove:

• [math]V_1[/math]: è il valore di partenza (quello che conosci).
• [math]\frac{(df – df_1)}{(df_2 – df_1)}[/math]: è la frazione di strada percorsa. Se sei a [math]17[/math] tra [math]15[/math] e [math]20[/math], hai fatto [math]2[/math] passi su [math]5[/math] totali (cioè i [math]2/5[/math] o il [math]40\%[/math] del cammino).
• [math](V_2 – V_1)[/math]: è la distanza totale tra i due valori della tabella (il “gap” da colmare).

🧪 Esempio Pratico: “Il caso del 17”

Ti serve il valore critico [math]t[/math] per [math]df = 17[/math]. La tavola ti dà solo questi due vicini:

• [math]df = 15 \rightarrow[/math] valore [math]2.131[/math] (Il tuo punto di partenza)
• [math]df = 20 \rightarrow[/math] valore [math]2.086[/math] (Il tuo punto di arrivo)

Il ragionamento intuitivo:

1. Da [math]15[/math] a [math]20[/math] ci sono [math]5[/math] passi.
2. Tu sei a [math]17[/math], quindi hai fatto [math]2[/math] passi dopo il [math]15[/math].
3. Significa che devi percorrere i [math]2/5[/math] della distanza tra i due valori.

Il calcolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
V &= 2.131 + \frac{2}{5} \cdot (2.086 – 2.131) \\
&{} \quad \text{(Sostituiamo i valori della frazione e la differenza)} \\
V &= 2.131 + 0.4 \cdot (-0.045) \\
&{} \quad \text{(Nota il meno: il valore t diminuisce al crescere di df)} \\
V &= 2.131 – 0.018 = \mathbf{2.113}
\end{aligned}[/math]

Risultato: Il valore stimato è 2.113. Molto più preciso che tirare a indovinare!

🎤 SOLUZIONI COMMENTATE – Versione “spiegata come all’orale”

🟦 SEZIONE A – Tavola Z

A1. [math]P(Z \le 1.28)[/math]

Risposta orale:
“Uso la tavola [math]Z[/math] cumulativa da sinistra. Cerco [math]1.2[/math] nella colonna principale e [math]0.08[/math] nella riga. All’incrocio trovo circa [math]0.8997[/math]. Questo è [math]P(Z \le 1.28)[/math] perché la tavola mi dà direttamente l’area a sinistra.”

A2. Area a destra di [math]z = 2.05[/math]

Risposta orale:
“La tavola [math]Z[/math] mi dà l’area a sinistra. Quindi leggo [math]P(Z \le 2.05)[/math], che è circa [math]0.9798[/math]. Per la coda destra faccio [math]1 – 0.9798[/math], ottenendo circa [math]0.0202[/math].”

A3. Valore critico per area [math]0.975[/math]

Risposta orale:
“[math]0.975[/math] è tipico dei test bilaterali con [math]\alpha = 0.05[/math]. Cerco nella tavola il valore più vicino a [math]0.975[/math] e trovo [math]1.96[/math]. Questo è il valore critico della [math]Z[/math].”

A4. [math]P(-1.64 < Z < 1.64)[/math]

Risposta orale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \text{Calcolo l’area a sinistra di 1.64, che è circa 0.9495.} \\
& \text{L’area a sinistra di -1.64 è } 1 – 0.9495 = 0.0505. \\
& \text{Quindi l’area centrale è } 0.9495 – 0.0505 = 0.899.
\end{aligned}[/math]

🟩 SEZIONE B – Tavola t di Student

B1. Test bilaterale, [math]\alpha = 0.05[/math], [math]df = 12[/math]

Risposta orale:
“Per un test a due code con [math]\alpha = 0.05[/math] devo usare la colonna [math]\alpha/2 = 0.025[/math]. Alla riga [math]df = 12[/math] trovo circa [math]2.179[/math].”

B2. Test a una coda, [math]\alpha = 0.01[/math], [math]df = 25[/math]

Risposta orale:
“Per una coda uso direttamente la colonna [math]0.01[/math]. Alla riga [math]df = 25[/math] trovo circa [math]2.485[/math].”

B3. [math]df = 17[/math] non in tavola, [math]\alpha = 0.10[/math] bilaterale

Risposta orale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \text{Per } \alpha = 0.10 \text{ bilaterale uso la colonna 0.05.} \\
& \text{Ho } df = 15 \text{ (1.753) e } df = 20 \text{ (1.725).} \\
& \text{Interpolo: 17 è due quinti tra 15 e 20.} \\
& \text{La differenza è -0.028. Due quinti di -0.028 è -0.011.} \\
& \text{Quindi } 1.753 – 0.011 \approx 1.742.
\end{aligned}[/math]

B4. Test bilaterale, [math]\alpha = 0.01[/math], [math]df = 5[/math]

Risposta orale:
“Per [math]\alpha = 0.01[/math] bilaterale uso la colonna [math]0.005[/math]. Alla riga [math]df = 5[/math] trovo circa [math]4.032[/math].”

🟥 SEZIONE C – Tavola χ²

C1. [math]df = 4[/math], [math]\alpha = 0.05[/math]

Risposta orale:
“Il Chi-quadrato usa la coda destra. Alla colonna [math]0.05[/math] e riga [math]df = 4[/math] trovo circa [math]9.488[/math].”

C2. [math]df = 10[/math], [math]\alpha = 0.01[/math]

Risposta orale:
“Cerco la colonna [math]0.01[/math] e la riga [math]df = 10[/math]. Il valore critico è circa [math]23.209[/math].”

C3. [math]df = 2[/math], [math]\alpha = 0.10[/math]

Risposta orale:
“Colonna [math]0.10[/math], riga [math]df = 2[/math]. Il valore è circa [math]4.605[/math].”

C4. [math]df = 18[/math] non in tavola, [math]\alpha = 0.05[/math]

Risposta orale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \text{Uso } df = 15 \text{ (24.996) e } df = 20 \text{ (31.410).} \\
& \text{Interpolo: 18 è tre quinti tra 15 e 20.} \\
& \text{La differenza è 6.414. Tre quinti di 6.414 è 3.848.} \\
& \text{Quindi } 24.996 + 3.848 \approx 28.844.
\end{aligned}[/math]

🧠 SEZIONE D – Riconoscimento della coda

D1. Test [math]t[/math] bilaterale, [math]\alpha = 0.05[/math]
Risposta orale: “Divido [math]\alpha[/math] in due: uso la colonna [math]0.025[/math].”

D2. Test [math]Z[/math] a una coda destra, [math]\alpha = 0.01[/math]
Risposta orale: “Cerco il valore critico che lascia [math]1\%[/math] a destra: è [math]2.33[/math].”

D3. Test [math]\chi^2[/math] di indipendenza, [math]\alpha = 0.05[/math]
Risposta orale: “Il Chi-quadrato usa sempre la coda destra.”

D4. Area a destra di [math]1.96[/math]
Risposta orale: “Leggo l’area a sinistra ([math]0.975[/math]) e faccio [math]1 – 0.975 = 0.025[/math].”

🧩 SEZIONE E – Mini‑simulazioni

E1. Media, varianza ignota, [math]n = 22[/math], [math]\alpha = 0.05[/math], due code
Risposta orale: “Varianza ignota + [math]n < 30 \rightarrow t[/math] di Student. [math]df = 21[/math]. Test bilaterale [math]\rightarrow[/math] colonna [math]0.025[/math].”

E2. Indipendenza, tabella [math]3 \times 4[/math], [math]\alpha = 0.01[/math]
Risposta orale: “Tavola [math]\chi^2[/math]. [math]df = (3-1)(4-1) = 2 \times 3 = 6[/math]. Colonna [math]0.01[/math].”

E3. Proporzione, [math]n = 200[/math], [math]\alpha = 0.05[/math], una coda
Risposta orale: “Le proporzioni usano la [math]Z[/math]. Per una coda con [math]\alpha = 0.05[/math] il valore critico è [math]1.645[/math].”