Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di 1,2.
Soluzione
La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad un certo valore x, ovvero P(Z ≤ x)
è un valore che, per la variabile aleatoria normale standard, viene riportato in Tabella. Tale probabilità si ricava nel modo seguente: le righe della tabella corrispondono alla cifra intera ed alla prima cifra decimale del valore x, mentre le colonne della tabella corrispondono alla seconda cifra decimale del valore x. Quindi, per calcolare la probabilità che Z sia minore a 1,2, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 1,2 ed alla colonna 0. Il valore corrispondente è 0,8849. Si avrà:
P(Z ≤ 1,2) = 0,8849
Esercizio2
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di 1,94.
Soluzione
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a quella illustrata nel caso precedente. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a 1,94, si dovrà considerare il valore riportato in Tabella. relativo alla riga 1,9 ed alla colonna 0,04. Il valore corrispondente è 0,9738. Si avrà:
P(Z ≤ 1,94) = 0,9738
Esercizio3
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di 0,65.
Soluzione
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a 0,65, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,6 ed alla colonna 0,05. Il valore corrispondente è 0,7422. Si avrà:
P(Z ≤ 0,65) = 0,7422
Esercizio4
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di -2,15.
Soluzione
La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad un certo valore x negativo, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale del valore x considerato con il segno positivo, ovvero
P(Z ≤ -x) = 1 – P(Z ≤ x)
A questo punto la metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a -2,15, si dovrà considerare il valore riportato in Tabella. relativo alla riga 2,1 ed alla colonna 0,05. Il valore corrispondente è 0,9842. Si avrà:
P(Z ≤ -2,15) = 1 – P(Z ≤ 2,15) = 1 – 0,9842 = 0,0158
Esercizio5
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di -0,12.
Soluzione
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a quella illustrata nel caso precedente. Per calcolare la probabilità che Z sia minore a -0,12, si dovrà considerare il valore riportato in Tabella relativo alla riga 0,1 ed alla colonna 0,02. Il valore corrispondente è 0,5478. Si avrà:
P(Z ≤ -0,12) = 1 – P(Z ≤ 0,12) =1 – 0,5478 = 0,4522
Esercizio6
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia maggiore di 2,98.
Soluzione
La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia maggiore di un certo valore x, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad x, ovvero
P(Z > x) = 1 – P(Z ≤ x)
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è adesso analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia maggiore a 2,98, si dovrà considerare il valore riportato in Tabella. relativo alla riga 2,9 ed alla colonna 0,08.
Il valore corrispondente è 0,9986. Si avrà:
P(Z > 2,98) = 1 – P(Z ≤ 2,98) = 1 – 0,9986 = 0,0014
Esercizio7
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia maggiore di -0,11.
Soluzione
La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia maggiore di un certo valore x negativo, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad x, che a sua volta è pari al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale del valore x considerato con il segno positivo, ovvero
P(Z > -x) = 1 – P(Z ≤ -x) = 1 – [1 – P(Z ≤ x)] = P(Z ≤ x)
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è adesso analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia maggiore a -0,11, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 0,1 ed alla colonna 0,01. Il valore corrispondente è 0,5438. Si avrà:
P(Z > -0,11) = P(Z ≤ 0,11) = 0,5438
Esercizio8
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia compresa tra 1,2 e 2,86.
Soluzione
La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia compresa in un certo intervallo di valori x, è uguale alla probabilità che Z sia minore dell’estremo superiore meno la probabilità che Z sia minore dell’estremo inferiore dell’intervallo:
P(x1 ≤ Z ≤ x2) = P(Z ≤ x2) – P(Z ≤ x1)
Procedendo in modo analogo ai casi precedenti, si avrà:
P(1,2 ≤ Z ≤ 2,86) = P(Z ≤ 2,86) – P(Z ≤ 1,2) = 0,9979 – 0,8849 = 0,113
Esercizio9
Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia compresa tra -1 e 1,1.
Soluzione
La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è analoga a quella illustrata nel caso precedente, facendo attenzione al segno negativo dell’estremo inferiore dell’intervallo:
P(-1 ≤ Z ≤ 1,1) = P(Z ≤ 1,1) – P(Z ≤ -1) = P(Z ≤ 1,1) – [1 – P(Z ≤ 1)] =
= 0,8643 – (1 – 0,8413) = 0,7056
Esercizio10
Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia minore o uguale di γ = 0,66.
Soluzione
Il primo passo per la risoluzione dell’esercizio consiste nella standardizzare la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (XN – µ) /σ, si andrà ad operare sul valore x come segue: x = (γ – µ) /σ
Si avrà:
x = (0,66 – 0,44) /3,24 ≈ 0,07
L’esercizio diventa quindi quello di determinare la probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore di 0,07:
P(Z ≤ 0,07) = 0,5279
Esercizio11
Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia minore o uguale di γ = -0,54.
Soluzione
Il primo passo per la risoluzione dell’esercizio consiste nello standardizzare la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (XN – µ) /σ, si andrà ad operare sul valore x come segue: x = (γ – µ) /σ
Si avrà:
x = (-0,54 – 0,44) /3,24 ≈ -0,30
L’esercizio diventa quindi quello di determinare la probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore di -0,302:
P(Z ≤ -0,30) = 1 – [P(Z ≤ 0,30)] = 1 – 0,6179 = 0,3821
Esercizio12
Data la variabile aleatoria normale X con media µ = 0,44 e deviazione standard σ=3,24, si calcoli la probabilità che X sia compresa tra γ1 = -0,26 e γ2= 0,68.
Soluzione
La soluzione dell’esercizio consiste nell’applicare le metodologie utilizzate per la risoluzione degli esercizi 11 e 8.
Il primo passo per la risoluzione dell’esercizio consiste nello standardizzare la variabile aleatoria normale X. Poiché Z = (XN – µ) /σ, si andrà ad operare sugli estremi dell’intervallo come segue:
x1 = (γ1 – µ) /σ e x2 = (γ2 – µ) /σ
Si avrà:
x1 = (-0,26 – 0,44) /3,24 ≈ -0,22
x2 = (0,68 – 0,44) /3,24 ≈ 0,07
L’esercizio diventa quindi quello di calcolare la probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia compresa tra -0,22 e 0,07:
P(-0,22 ≤ Z ≤ 0,07) = P(Z ≤ 0,07) – P(Z ≤ -0,22) =
= P(Z ≤ 0,07) – [1 – P(Z ≤ 0,22)]=0,5279 – [1 – 0,5871] = 0,115
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