Studio di una funzione: funzioni logaritmiche. Esercizi svolti

Studio di funzioni logaritmiche.

Studiare le seguenti funzioni , tracciarne il grafico ed indicare gli eventuali punti di minimo e massimo .

I LOGARITMI E LE LORO PROPRIETA’

Logaritmi : Esercizi svolti

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ESERCIZIO 1:

SOLUZIONE:

Classificazione.

E una funzione mista logaritmica intera. `
Dominio.

Per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che l’argomento del logaritmo sia maggiore di zero, e pertanto:

D_f =   ]0; +∞[.

Segno e Intersezioni con gli assi.

Poichè il dominio è  ]0; +∞[, si ha che f(x) > 0 per x > e.

La funzione non interseca l’asse y perchè  x = 0 ∉ D_f , mentre interseca l’asse x nel punto di coordinate (e; 0).

Comportamento della funzione in punti particolari del dominio.

I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono 0, +∞.
Abbiamo che:

Dunque la funzione non ammette asintoti verticali.

Abbiamo che:

la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l’asintoto obliquo y = mx + q. Abbiamo che:

quindi possiamo concludere che non esiste neanche l’asintoto obliquo.

Studio della derivata prima.

Abbiamo che:

Studio della derivata seconda.

Abbiamo che:

Grafico:

ESERCIZIO 2:

SOLUZIONE:

Classificazione.

E una funzione logaritmica intera. `
Dominio.

Per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che l’argomento del logaritmo sia maggiore di zero, e pertanto si deve avere:

Segno e Intersezioni con gli assi.

La funzione interseca gli assi solo nell’origine O(0; 0).
Comportamento della funzione in punti particolari del dominio.

I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono −∞, +∞. In particolare, poichè il dominio è R non esistono asintoti verticali.
Abbiamo che:

Calcolando i limiti per x tendente all’infinito si sono ottenuti valori infiniti: di conseguenza si può affermare che la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l’asintoto obliquo.

La funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = mx + q se esistono finiti i seguenti limiti:

Possiamo concludere che non esiste neanche l’asintoto obliquo.

Studio della derivata prima.

Abbiamo che:

Studio della derivata seconda.

Abbiamo che:

Grafico:

 

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