Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui ha senso la seguente espressione analitica)
Soluzione
Si ha x ≥ 1/e.
Infatti bisogna dare la condizione di esistenza del logaritmo x > 0 e la condizione di esistenza della radice x ≥ 1/e e quindi globalmente si ha
x ≥ 1/e.
Esercizio 2
Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui ha senso la seguente espressione analitica)
Soluzione
Si ha x < 1 ∨ x > 5.
Infatti bisogna porre la condizione di esistenza del logaritmo, che è x ≠ 1 e x ≠ 5 perché la radice è sempre positiva o nulla;
poi bisogna porre la condizione di esistenza della radice quindi
x2 − 6x + 5 ≥ 0 e quindi in definitiva si ha x < 1 ∨ x > 5.
Esercizio 3
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
Si ha x < 2.
Infatti bisogna porre la condizione di esistenza della radice, cioè x ≤ 2 e la condizione di esistenza della frazione, quindi denominatore diverso da zero, da cui la soluzione.
Esercizio 4
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
x ≠ 2πk, con k ∈ Z. Infatti basta porre la condizione di esistenza della frazione (denominatore diverso da zero).
Esercizio 5
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
x ≥ 1.
Infatti si parte dalla condizione di esistenza della radice, cioè x2 − 1 ≥ 0; poi si aggiunge la condizione di esistenza del logaritmo, cioè
Prima di elevare a quadrato si deve porre ovviamente x ≥ 0. Elevando a quadrato ottengo 3x2 + 1 > 0 che è sempre verificata, da cui la soluzione proposta.
Esercizio 6
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
0 < x < 1.
Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a x−x2 > 0 cioè 0 < x < 1.
Poi bisogna porre la condizione di esistenza della radice, cioè 1 − log(x − x2) ≥ 0 che porta a x − x2 ≤ e che è sempre verificata.
Esercizio 7
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
x ≠ 0.
Infatti la condizione di esistenza del logaritmo è sempre verificata. Basta quindi porre sin x ≠ x.
Esercizio 8
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
0 + 2kπ ≤ x ≤ 7/6π + 2kπ ∨ 11/6π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ con k ∈ Z.
Infatti la condizione di esistenza della radice porta a sin x ≥ −1/2.
Esercizio 9
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
Dominio uguale all’insieme vuoto.
Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a 3 + 2 cos x − cos2 x > 0.
Con la sostituzione cos x = t si risolve facilmente in termini di t e si giunge a (cos x + 1)(cos x − 3) < 0.
Ora di sicuro cos x < 3 e anche cos x + 1 ≤ 0 per ogni x quindi la condizione di esistenza del logaritmo non è mai verificata.
Esercizio 10
Calcolare il dominio naturale di
Soluzione
π/2 + kπ < x ≤ π + kπ, k ∈ Z+, x ≠ e.
Infatti prima di tutto analizziamo il numeratore.
Esistenza del logaritmo: 1 − tan x > 0.
Esistenza radice log(1 − tan x) ≥ 0 che equivale a tan x ≤ 0.
Riassumendo dunque si ha tan x ≤ 0, cioè π/2 + kπ < x ≤ π + kπ, k ∈ Z.
Al denominatore:
siccome sin2 x + cos2 x = 1, basta porre 1 − log x ≠ 0 con x > 0 (esistenza logaritmo) cioè x > 0 con x ≠ e.
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