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Breve ripasso sui Logaritmi
Definizione di logaritmo. Sia a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[, e sia b > 0.
Allora esiste un unico numero reale x tale che
Restrizioni su a e b.
Le richieste su a ∈ ]0, 1[∪]1, +∞[ e b > 0 sono giustificate dalle seguenti osservazioni:
• se a = 1 e b ≠ 1, allora non esiste alcun x tale che a = b;
• se a = 1 e b = 1, allora per ogni x si ha che ax= b;
• se a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[, ma b ≤ 0, allora non esiste nessun x tale che a = b;
• se a < 0 e b ∈ R, allora non è detto che esista x ∈ R tale che ax= b (si noti che in questo caso ax non è nemmeno definito per gli x non interi).
Proprietà dei logaritmi
Sia a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[. Allora
Formula di cambio di base.
Siano a e b in ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[. Allora per ogni x > 0 si ha che
Grazie a questa formula è possibile calcolare i logaritmi in qualunque base, conoscendo unicamente i logaritmi in una base a scelta.
ATTENZIONE!
Non esistono formule eleganti per esprimere
Equazioni e disequazioni con esponenziali
Esponenziale con base maggiore di 1.
Sia a > 1 e sia λ ∈ R. Allora
Esponenziale con base minore di 1.
Sia 0 < a < 1 e sia λ ∈ R. Allora
Equazione con due esponenziali.
Sia a ∈ ]0, 1[∪]1, +∞[. Allora abbiamo che
Questo vuol dire che nel risolvere l’equazione af(x) = a g(x) possiamo impunemente eliminare la base a.
Disequazione con due esponenziali.
Consideriamo la disequazione
af(x) > a g(x)
Allora
cioè si possono eliminare le basi, a patto di invertire il verso della disequazione.
Equazioni e disequazioni con logaritmi
Logaritmo con base maggiore di 1.
Sia a > 1 e sia λ ∈ R. Allora
Logaritmo con base minore di 1.
Sia 0 < a < 1 e sia λ ∈ R. Allora
Equazione con due logaritmi.
Sia a ∈ ]0, 1[∪]1, +∞[. Allora l’equazione
Tale sistema è costituito dall’equazione f(x) = g(x) e da una disequazione a scelta tra f(x) > 0 e g(x) > 0 (grazie all’ uguaglianza possiamo scegliere una qualunque delle due).
Pertanto nel risolvere l’equazione logaf(x) = loga g(x) è possibile eliminare i due logaritmi, a patto di imporre le condizioni necessarie alla loro esistenza, e cioè che gli argomenti siano positivi.
Disequazione con due logaritmi.
Consideriamo la disequazione logaf(x) < loga g(x)
Allora
• se a > 1 abbiamo che
cioè si possono eliminare i logaritmi a patto di imporre le condizioni necessarie alla loro esistenza, contenute in f(x) > 0 (si noti come a questo punto la condizione g(x) > 0 è automaticamente soddisfatta);
• se invece 0 < a < 1, allora bisogna invertire i versi, nel senso che
ATTENZIONE!
Si ricorda che loga x non è definito per x ≤ 0.
Leggi: Tutto quello che devi sapere sulle disequazioni ( I PARTE)
Leggi: Tutto quello che devi sapere sulle disequazioni ( II PARTE)
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