Un’equazione esponenziale interessante

Esercizio

Risolvere la seguente equazione esponenziale:

3^x+4 – 3^3x+9 = 2

Soluzione

L’equazione è equivalente a :

3^x+4 – 3^3x+9 = [ 3 ^.3^x+3 – 3^3(x+3)] = 2

Effettuiamo la seguente sostituzione:

y = 3^x+3

Ne segue che:

3y- y³ = 2

ossia

y³ -3y +2 = 0

che è equivalente a :

y³ -y- 2y +2 = 0

cioè:

y(y²-1) -2(y -1) = 0

y(y-1)(y+1) -2(y-1) = 0

Raccogliamo (y-1):

(y-1) [y(y+1) -2] = 0 ⇒ (y-1) (y² +y -2) = 0

Risolviamo  (y² +y -2) = 0

E’ un’equazione di II grado completa il cui discriminante Δ

E uguale a :

Δ = √ 1 +8 = √9 = 3

se ∆ > 0, l’equazione ammette due radici reali e distinte, date dalla formula:

Perciò :

y₁ = -4 che non è una soluzione accettabile dato che y = 3^x+3   quindi sempre maggiore di zero

y₂ = 1 accettabile.

Quindi la nostra equazione di partenza può essere scritta come:

(y-1)(y-1)(y+4) = 0

⇒ ( y-1) = 0      ⇒    y = 1  ⇒ 3^x+3  = 1 = 3⁰

⇒ x + 3 = 0

⇒ x = -3 

che è la nostra soluzione

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