SUCCESSIONI  NUMERICHE

COS’E’ UNA SUCCESSIONE NUMERICA

Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita in un insieme del tipo {𝑛 ∈ ℕ|𝑛 ≥ 𝑛₀}, con 𝑛₀ numero naturale.
Parlando di successioni, solitamente denotiamo:
– La variabile indipendente con 𝑛;
– Il valore che la successione assume in un numero naturale 𝑛 con il simbolo 𝑎_𝑛 chiamato termine n-esimo della successione.
– L’immagine della successione con {𝑎_𝑛} 𝑛∈ℕ (oppure {𝑎_𝑛})
Il grafico di una successione è costituito da infiniti punti isolati di coordinate (𝑛, 𝑎_𝑛), con 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑛₀.

PROLUNGAMENTO DI UNA SUCCESSIONE

Diciamo che una funzione 𝑓 è un prolungamento della successione {𝑎_𝑛} se 𝑓 è definita nell’intervallo [𝑛₀, +∞) e si ha

𝑓(𝑛) = 𝑎_𝑛 per ogni 𝑛 ≥ 𝑛₀.

SUCCESSIONE MONOTONA 

Per verificare se una successione è monotona basta confrontare tra loro termini consecutivi. Più nel dettaglio, una successione {𝑎_𝑛} è:
– CRESCENTE se e solo se 𝑎_𝑛 ≤ 𝑎_𝑛+1 per ogni 𝑛;
– STRETTAMENTE CRESCENTE se e solo se 𝑎_𝑛 < 𝑎_𝑛+1 per ogni 𝑛;
– DECRESCENTE se e solo se 𝑎_𝑛 ≥ 𝑎_𝑛+1 per ogni 𝑛;
– STRETTAMENTE DECRESCENTE se e solo se 𝑎_𝑛 > 𝑎_𝑛+1 per ogni 𝑛;

Facciamo delle osservazioni:
– Se una funzione prolungamento di una successione è monotona, anche la successione lo è.
– Si potrebbe erroneamente pensare che la presenza del termine “oscillante “(-1)_n implichi mancanza di monotonia; non è detto che sia così.
– Per “farsi una idea” dell’andamento di una successione è utile esplicitarne i primi termini; tuttavia, ciò non è sufficiente a stabilire che la successione sia monotona.

SUCCESSIONI LIMITATE

Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di successioni limitate inferiormente, limitate superiormente e limitate, nonché di estremo inferiore ed estremo superiore e di minimo e massimo di una successione.

PROPRIETÀ VERE DEFINITIVAMENTE

Una proprietà 𝑃_𝑛 è vera definitivamente se 𝑃_𝑛 è vera per tutti gli n sufficientemente grandi, cioè se esiste 𝜈 ∈ ℕ tale che la proprietà 𝑃_𝑛 sia vera per ogni 𝑛 ≥ 𝜈.

SUCCESSIONI INFINITESIME

Vediamo due casi:
– NUMERI POSITIVI  Una successione {𝑎𝑛} di numeri positivi si dice infinitesima se per ogni 𝜀 >0 la disuguaglianza 𝑎𝑛 < 𝜀 è vera definitivamente.
– NUMERI QUALSIASI  Una successione {𝑎_𝑛} di numeri qualsiasi si dice infinitesima se la successione {|𝑎𝑛|} è infinitesima.

SUCCESSIONI CONVERGENTI

La successione {𝑎_𝑛} si dice convergente se esiste 𝑎 ∈ ℝ tale che la successione {𝑎_𝑛 − 𝑎} sia infinitesima. In tal caso diciamo che {𝑎_𝑛} converge ad 𝑎.

 SUCCESSIONI DIVERGENTI 

Vediamo due casi:
– DIVERGE POSITIVAMENTE  Si dice che la successione {𝑎_𝑛} diverge positivamente se per ogni 𝑀 > 0 la disuguaglianza 𝑎_𝑛 > 𝑀 è vera definitivamente.
– DIVERGE NEGATIVAMENTE  Si dice che la successione {𝑎_𝑛} diverge negativamente se per ogni 𝑀 > 0 la disuguaglianza 𝑎𝑛 < −𝑀 è vera definitivamente.

SUCCESSIONI REGOLARI e LORO LIMITI 

– Una successione si dice regolare se è convergente oppure divergente.
– Una successione non regolare si dice irregolare o indeterminata.
– Se la successione {𝑎_𝑛} è regolare, diciamo che {𝑎𝑛} ha limite e scriviamo:

LIMITI e LIMITATEZZA: NON CONFONDIAMOLI 

Sia {𝑎𝑛} una successione regolare.

– {𝑎_𝑛} converge ⟹ {𝑎_𝑛} è limitata.
– {𝑎_𝑛} diverge positivamente ⟹ {𝑎_𝑛} è illimitata superiormente.
– {𝑎_𝑛} diverge negativamente ⟹ {𝑎_𝑛} è illimitata inferiormente.

OSSERVAZIONE:

Le implicazioni non possono essere invertite, in quanto:
– Esistono successioni limitate che non convergono;
– Esistono successioni illimitate superiormente che non divergono positivamente;
– Esistono successioni illimitate inferiormente che non divergono negativamente.

TEOREMA: REGOLARITÀ DELLE SUCCESSIONI MONOTONE

Ogni successione monotona è regolare. Precisamente:
1. {𝑎_𝑛} crescente ⟹ lim _𝑛→+∞ 𝑎_𝑛 = sup 𝑎_𝑛
2. {𝑎_𝑛} decrescente ⟹ lim _𝑛→+∞ 𝑎_𝑛 = inf 𝑎_𝑛

C’è un COROLLARIO il quale afferma che:
Supponiamo che la successione {𝑎𝑛} sia monotona. Allora:
1. {𝑎_𝑛} converge ⟺ {𝑎_𝑛} è limitata;
2. {𝑎_𝑛} diverge ⟺ {𝑎_𝑛} è illimitata.

LIMITI E OPERAZIONI ALGEBRICHE

Supponiamo 𝑎_𝑛 → 𝑎 ∈ ℝ e 𝑏_𝑛 → 𝑏 ∈ ℝ. Allora:
– REGOLA DELLA SOMMA: 𝑎_𝑛 + 𝑏_𝑛 → 𝑎 + 𝑏
– REGOLA DELLA DIFFERENZA 𝑎_𝑛 − 𝑏_𝑛 → 𝑎 − 𝑏
– REGOLA DEL MULTIPLO: 𝜆𝑎_𝑛 → 𝜆𝑎 (𝜆 ∈ ℝ)
– REGOLA DEL PRODOTTO: 𝑎_𝑛𝑏_𝑛 → 𝑎𝑏
– REGOLA DEL RECIPROCO: 1/𝑎_𝑛 → 1/𝑎 (𝑎 ≠ 0)
– REGOLA DEL RAPPORTO: 𝑎_𝑛/ 𝑏_𝑛 → 𝑎/𝑏 (𝑏 ≠ 0)

RECIPROCO DI UNA SUCCESSIONE INFINITESIMA 

Sia {𝑎_𝑛} una successione infinitesima. Allora:
1. {𝑎_𝑛} ha segno costante (definitivamente) ⇒ {1/𝑎_𝑛} diverge, positivamente o negativamente, a seconda del segno di 𝑎_𝑛.
2. {𝑎_𝑛} non ha segno costante (definitivamente) ⇒ {1/𝑎_𝑛} non ha limite.

OPERAZIONI CON SUCCESSIONI DIVERGENTI 

Siano {𝑎_𝑛} e {𝑏_𝑛} successioni divergenti:
– Se le due successioni divergono con lo stesso segno, la successione somma {𝑎_𝑛 + 𝑏_𝑛} diverge con lo stesso segno.
– Se 𝜆 ≠ 0, la successione multiplo {𝜆𝑎_𝑛} diverge, con lo stesso segno di {𝑎_𝑛} se 𝜆 > 0, con segno opposto se 𝜆 < 0.
– La successione prodotto {𝑎_𝑛𝑏_𝑛} diverge, positivamente se le due successioni divergono con lo stesso segno, negativamente se le due successioni divergono con segni opposti.
– La successione reciproco {1/𝑎_𝑛 } è infinitesima.

TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO 

Sia {𝑎_𝑛} una successione, sia 𝑎 ∈ ℝ e si supponga 𝑎_𝑛 → 𝑎.
1.
𝑎 > 0 ⇒ 𝑎_𝑛 > 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎 < 0 ⇒ 𝑎_𝑛 < 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
2.
𝑎_𝑛 ≥ 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑎 ≥ 0
𝑎_𝑛 ≤ 0 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑎 ≤ 0

Osservazioni:
– Se 𝑎 = 0, non si può dire nulla sul segno di 𝑎_𝑛.
– Le implicazioni in (1.) valgono anche se 𝑎 = +∞ e 𝑎 = −∞ rispettivamente.
– Le conclusioni in (2.) sono le stesse anche se si suppone definitivamente 𝑎_𝑛 > 0 e 𝑎_𝑛 < 0 rispettivamente.

TEOREMA DEL CONFRONTO, O CONVERGENZA OBBLIGATA, O DEI CARABINIERI

Siano {𝑎_𝑛}, {𝑏_𝑛}, {𝑐_𝑛} tre successioni tali che:
– 𝑎_𝑛 ≤ 𝑏_𝑛 ≤ 𝑐_𝑛 definitivamente;
– {𝑎_𝑛} e {𝑐_𝑛} convergono a uno stesso limite a.
Allora anche {𝑏_𝑛} converge ad a.

GENERALIZZANDO:

{𝑎_𝑛} limitata, {𝑏_𝑛} infinitesima ⇒ {𝑎_𝑛 ⋅ 𝑏_𝑛} infinitesima;
{𝑎_𝑛} limitata, {𝑏_𝑛} divergente ⇒ {𝑎_𝑛/𝑏_𝑛} infinitesima;

TEOREMA DELLA DIVERGENZA OBBLIGATA 

Siano {𝑎_𝑛} e {𝑏_𝑛} successioni tali che 𝑎_𝑛 ≤ 𝑏_𝑛 definitivamente.
Allora:
– {𝑎_𝑛} diverge positivamente ⇒ {𝑏_𝑛} diverge positivamente;
– {𝑏_𝑛} diverge negativamente ⇒ {𝑎_𝑛} diverge negativamente;

GENERALIZZANDO:

{𝑎_𝑛} divergente, {𝑏_𝑛} limitata ⇒ {𝑎_𝑛 ± 𝑏_𝑛} divergente.

{𝑎_𝑛} divergente, {𝑏_𝑛} convergente e non infinitesima ⇒ {𝑎_𝑛 ⋅ 𝑏_𝑛},{𝑎_𝑛/𝑏_𝑛} divergenti.

FORME DI INDECISIONE 

Né le regole algebriche né le loro generalizzazioni permettono di determinare a priori il limite nei seguenti casi, che chiamiamo
FORME DI INDECISIONE:
– Differenza di successioni che divergono con lo stesso segno (forma +∞ − ∞);
– Prodotto di una successione infinitesima per una divergente (forma 0 ⋅ ∞);
– Rapporto di due successioni divergenti (forma ∞/∞);
– Rapporto di due successioni infinitesime (forma 0/0).

 

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