Thomas Malthus (1766-1834)
Si è già visto che, per quanto riguarda la determinazione di una legge della crescita di una popolazione, si deve ricorrere alle analisi empiriche già esistenti. Una delle prime conclusioni tratte dall’analisi empirica dei dati noti risale a molto tempo fa ed è basata sulle idee dell’economista inglese Thomas Malthus (1766-1834) esposte nel famoso An Essay on the Principle of Population (Saggio sul principio della popolazione) pubblicato nel 1798. Dell’analisi di Malthus fu comunemente accettata l’idea che, in assenza di vincoli esterni (limitatezza delle risorse ecc.), la popolazione umana (come ogni popolazione animale) tende, per sua natura, a una crescita direttamente proporzionale al numero della popolazione stessa e pertanto illimitata.
Questa convinzione indusse Malthus a formulare conclusioni pessimistiche circa il futuro della popolazione umana, il cui sviluppo sarebbe presto entrato in conflitto con la limitatezza delle risorse disponibili sulla Terra. Queste conclusioni pessimistiche furono duramente attaccate da molti economisti e in particolare da Karl Marx (1818-1883). Le critiche rivolte a Malthus si basavano sul presupposto ideologico che il progresso tecnologico e industriale, in quanto fattore moltiplicativo delle risorse, avrebbe permesso di far fronte senza difficoltà a
una crescita demografica praticamente illimitata.
Qui sotto trovi l’approfondimento:
Per tradurre nel linguaggio matematico l’idea della tendenza di una popolazione a crescere senza limiti, dobbiamo introdurre alcuni concetti e definizioni abbastanza semplici.
Finora abbiamo utilizzato l’anno come unità di misura del tempo. Se ne possono beninteso utilizzare altre: il mese, il giorno, il secondo, il decennio, il secolo ecc. Per non limitare le nostre considerazioni, faremo riferimento a un’unità di misura di tempo qualsiasi (da specificare caso per caso) che denoteremo con il simbolo Δt. Quindi Δt denota un intervallo di tempo. Vogliamo ora introdurre in termini matematici il il
concetto di velocità con cui varia la popolazione nell’unità di tempo Δt. Per far ciò basterà confrontare la variazione della popolazione con l’intervallo di tempo considerato: a parità d’intervallo di tempo questa velocità è tanto più grande quanto più è grande la variazione della popolazione.
Come si indica la “variazione della popolazione nell’intervallo di tempo Δt”?
Se il numero degli individui che la compongono all’istante t è, come al solito, N(t), dopo che sarà trascorso un intervallo di tempo Δt, e cioè all’istante t + Δt, esso diverrà N(t+ Δt). Pertanto, la variazione della popolazione sarà data dalla differenza fra la popolazione finale, N(t + Δt), e quella iniziale, N(t): sarà cioè N(t + Δt) – N(t), e la denoteremo col simbolo ΔN.
Cioè:
Ora, per ottenere la misura della variazione (crescita, diminuzione o stasi) della popolazione nell’unità di tempo Δt, abbiamo detto che si dovrà confrontare l’incremento Δt della popolazione con l’intervallo di tempo trascorso Δt. Confrontare significa, in questo caso, “rapportare a” o, come si dice nel linguaggio comune, “fare il rapporto”.
Dovremo quindi considerare il “rapporto”
che chiameremo “velocità di variazione di N(t) nell’intervallo di tempo” considerato.
È facile constatare che, fissato Δt, questa velocità è tanto più grande quanto è maggiore ΔN e tanto più piccola quanto più è piccola la variazione ΔN, come è del tutto naturale.
Il concetto introdotto fornisce una misura della velocità di variazione della popolazione. Ma esso non è la stessa cosa del concetto di solito usato quando si parla di “percentuali” e si dice, per esempio: la popolazione del tal paese è cresciuta nel1984 del 7% (il che vuol dire che è cresciuta di 7 individui ogni 100). Questo concetto di percentuale non è privo di connessioni con il precedente: anzi, in certo senso, lo contiene. Esso si esprimerà confrontando l’incremento della popolazione (nell’esempio precedente, 7) con la popolazione iniziale (sempre nel nostro esempio, 100) e sarà quindi dato dal rapporto 7/100 (che si esprime di solito parlando di un incremento del 7%).
Bisogna però considerare anche l’intervallo di tempo scelto come unità di misura.
Infatti se, anziché scegliere l’anno come unità di misura, scegliamo per esempio il semestre, la percentuale d’incremento dovrà essere divisa per 2 (e sarà perciò 7/200, cioè il 3,5%); se scegliamo il mese, dovrà essere diviso per 12, e così via.
Come si esprime nei nostri simboli questa “variazione percentuale della popolazione nell’unità di tempo”?
L’incremento della popolazione – lo ricordiamo – è ΔN, la popolazione all’inizio del periodo considerato è N(t): occorrerà quindi considerare il rapporto fra queste due quantità, rapportato però a sua volta all’intervallo di tempo preso in esame.
Si tratterà quindi di considerare la quantità:
Appare chiaro anche il legame di questa nozione con la precedente: qui si considera ancora la velocità di variazione della popolazione, rapportata però alla numerosità della popolazione iniziale.
È quindi una nozione più significativa sul piano descrittivo.
ΔN/N(t)·Δt è detto tasso di crescita della popolazione nell’intervallo di tempo Δt.
Si noti, di passaggio, che se Δt = 1, cioè se Δt è l’intervallo di tempo scelto come unità di misura, il rapporto si riduce a ΔN/N(t).
Ora, il nostro problema si traduce nel fare delle ipotesi sul tasso di crescita della popolazione. Se, per esempio, diciamo che il tasso di crescita della popolazione è 2, nell’unità di tempo (per esempio nell’anno), ciò significa che la popolazione cresce al ritmo del 2% nell’unità di tempo e
quindi tende a un’espansione illimitata. Ed è chiaro che questa espansione illimitata si verificherà sempre se il tasso di crescita è costante e positivo; non importa che sia 2, 15 o 75. La diversità delle percentuali influisce sulla velocità della crescita ma la crescita stessa è comunque illimitata.
Viceversa, se il tasso di crescita è zero, cioè ΔN/N(t)·Δt = 0, ne segue che ΔN = 0, cioè la popolazione si mantiene costante (il numero delle nascite eguaglia il numero delle morti). Se è negativo, la popolazione decresce illimitatamente, fino a sparire.
Prima di procedere oltre in questo genere di considerazioni, vogliamo perfezionare ulteriormente il nostro concetto di tasso di crescita. Esso infatti esprime il cambiamento percentuale medio nel periodo di tempo considerato. In altri termini, se il periodo considerato è l’anno e la crescita è del 7%, ciò significa che nel corso dell’anno per ogni 100 abitanti vi è stato un incremento (come differenza fra nati e morti) di 7 individui. Non sappiamo se tale incremento sia avvenuto tutto nel primo mese o, poniamo, negli ultimi dieci giorni dell’anno. Si tratta di qualcosa di analogo al concetto di “velocità media”: se, per percorrere in automobile i 400 chilometri che separano Roma da Bologna, abbiamo impiegato 8 ore, diremo che la nostra velocità media è stata di 50 chilometri all’ora. È possibile però che determinati tratti siano stati percorsi a velocità folle e altri a passo di lumaca o a velocità nulla (nel caso di soste). A tale concetto si oppone quello di “velocità istantanea”, che è misurata dal tachimetro dell’autovettura, il quale offre al nostro occhio in modo continuo, cioè istante per istante, una misura della velocità.
Come si misura la velocità?
Lo si è visto nell’esempio precedente: si divide, si rapporta, lo spazio percorso per il tempo impiegato (400 diviso per 8). Si capisce subito che, se facessimo questa operazione più spesso (per esempio dividendo ogni chilometro percorso per il tempo impiegato a percorrerlo) otterremmo pur sempre la misura di una velocità media, diversa dalla velocità istantanea, ma sicuramente molto più vicina a questa che non la velocità media calcolata su un periodo molto più lungo. In definitiva, considerare intervalli di tempo sempre più piccoli ci avvicina a una misura della velocità istantanea. Perciò siamo indotti a pensare che il tachimetro della nostra auto si comporti come se fosse capace di calcolare la velocità istante per istante, e cioè per intervalli piccolissimi di tempo; come se fosse capace di eseguire istante per istante (o meglio, per intervalli piccolissimi) quella divisione fra spazio percorso e tempo impiegato.
Insomma, quel che vorremmo è che, nella definizione della velocità di variazione di una popolazione, la quantità Δt fosse piccolissima, “piccola a piacere”, come dicono i matematici.
Forse qualche lettore si è già reso conto che stiamo tentando di introdurre, con tutta la rozzezza inevitabile, il concetto matematico di derivata. Ci limiteremo a dire che è possibile considerare un rapporto, ΔN/Δt, in cui Δt è “piccolo quanto si vuole” (ovvero, come si dice, Δt “tende a zero”) e che questa operazione è chiamata appunto “derivazione”.
Tasso di crescita istantaneo
La definizione soddisfacente di questa operazione è il frutto di lunghissimi sforzi durati almeno due secoli ed è una delle conquiste più significative del pensiero matematico. Qui basterà dire che si può ottenere una definizione matematica del concetto di velocità di variazione istantanea. Per far ciò la quantità ΔN/Δt viene trasformata in una nuova quantità (detta derivata) che denotiamo col simbolo N˙(t) (o dN/dt).
Potremo allora anche parlare di “tasso di crescita istantaneo” della popolazione: invece della quantità ΔN/N(t)·Δt considereremo (sostituendo ΔN/N(t)·Δt con la derivata N˙(t)) la quantità N˙(t)/N(t).
In conclusione, N ˙ (t) esprime la “velocità istantanea di variazione della popolazione”. N˙(t)/N(t), che è il rapporto fra tale velocità e la popolazione nell’istante considerato, esprime invece un “tasso istantaneo” (variazione percentuale misurata istante per istante).
Quindi il concetto di velocità istantanea (che è basato su questa idea della divisibilità all’infinito dello spazio e del tempo) è piuttosto spontaneo e accettabile. Ma è assai più difficile accettare l’idea di considerare degli incrementi di popolazione ΔN piccolissimi. Come pensare a 2,3333 o a 0,0001 individui?
Eppure bisogna accettare idee del genere, se si vuole introdurre il concetto di tasso di crescita istantaneo.
Il numero di individui di una popolazione è una grandezza che, nella realtà, varia soltanto per numeri interi. Infatti è privo di senso dire che una popolazione cresce di una frazione di individuo. Tuttavia occorre considerare questa grandezza (la popolazione) come se fosse soggetta a una “crescita continua” e cioè come se la crescita avvenisse non saltando da un intero a un altro (da 1 a 2, da 2 a 3 ecc.), come in realtà avviene, ma come se passasse attraverso tutti i numeri compresi fra ogni coppia di interi successivi. Occorrerà certo, quando si utilizzano i risultati numerici dal punto di vista empirico, approssimarli alla loro parte intera (2,3333 diventerà 2 e 0,0001 diventerà 0). Ma non è questa la difficoltà. Il punto è che la nostra rappresentazione matematica (con numeri di ogni tipo) avrà senso soltanto se le condizioni specifiche del
problema lo consentiranno. Per esempio, se la popolazione è molto numerosa. Ma anche in altri casi, purché si abbiano buoni motivi per ritenere che il processo avvenga con caratteristiche sufficienti di continuità, cioè senza salti.
Riprendiamo il cammino accidentato verso la formulazione di una legge matematica della variazione di una popolazione (o, come si dice, della “dinamica di una popolazione”) tornando a Malthus.
Ebbene, l’“ipotesi malthusiana” consiste nell’affermare, sulla base dell’interpretazione dei dati noti, che la popolazione umana è in crescita e che il suo tasso di crescita è costante; un numero positivo quindi, che denoteremo con k.
Potremo quindi scrivere la legge di crescita malthusiana di una popolazione al modo seguente:
La prima scrittura dice che il tasso di crescita istantaneo della popolazione è costante. La seconda evidenzia il fatto che la velocità istantanea di crescita della popolazione è proporzionale alla popolazione stessa: quanto più numerosa è la popolazione, tanto più veloce è la sua crescita.
La formula N ˙ (t) = kN(t) è un esempio di ciò che va comunemente sotto il nome di “equazione differenziale”. Essa non fornisce esplicitamente la legge di crescita della popolazione, non fornisce cioè esplicitamente una formula che dica come varia N(t) in funzione del tempo. Stabilisce piuttosto un legame fra N(t) (che è proprio la funzione di cui vorremmo conoscere la forma) e la sua derivata N ˙ (t).
Tutto ciò è quel che accade di solito.
In generale è difficilissimo (e per lo più impossibile) ottenere subito in modo esplicito la formula che fornisce la legge cercata. Per lo più, dall’analisi sperimentale o da ragionevoli induzioni di carattere empirico, si ottengono delle relazioni fra le grandezze meno difficilmente rilevabili. Nel nostro caso una grandezza del genere è il tasso di crescita e la ragionevole induzione di carattere empirico (dovuta a Malthus) è che tale grandezza sia costante.
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