Fenomeni naturali attraverso modelli matematici. Alcuni esempi (II Parte)

Funzione potenza f(x)=x^α

LEGGI ALLOMETRICHE

Una legge che descrive come variano due parti dello stesso corpo di un organismo è detta “allometrica”.
Se x e y indicano le misure relative a due parti del corpo di un organismo, una legge allometrica è espressa come una funzione potenza

y=f(x)= ax^p, dove a e p sono costanti positive.

Nel rapporto tra peso dell’organismo e peso dello scheletro, l’esponente più spesso osservato nelle misure sperimentali è p ≈ 2/3.

La potenza p ≈ 3/4 si presenta con una certa frequenza nelle misure di uno stesso organo in specie diverse (misure “interspecifiche”), ma anche nei confronti tra organi diversi all’interno della stessa specie (misure “intraspecifiche”).

Modello di Bertalanffy (circa 1960) per le crescita tumorale

Uno dei primi modelli di crescita tumorale proposto intorno agli anni ‘60 del secolo scorso.
Gli elementi funzionali di un organismo sono assunti come processi continui di interazione, in cui si sommano accrescimento e decadimento. Accrescimento e decadimento sono modellizzati mediante funzioni potenza.
Bertalanffy propone di definire il tasso di crescita di un tumore di massa m, nel modo seguente:

Tasso di crescita della massa

dove a,b, α e β sono costanti positive

T(m) = am^α– bm^β è la somma di due funzioni potenza, la prima am^α rappresenta l’accrescimento della massa tumorale e porta un contributo positivo a T(m), l’altra – bm^β rappresenta il decadimento, la massa di tumore che si degrada per morte cellulare nell’unità di tempo e porta un contributo negativo.
^{In genere si pone β=1, cioè si suppone che la mortalità delle cellule sia proporzionale al numero delle cellule stesse. Invece si pone α=2/3.}

Il valore 2/3 viene ottenuto pensando ad un tumore approssimativamente sferico e ritenendo che la crescita sia proporzionale alla misura della superficie, proprio perché la quantità di nutrimento arriva alle cellule tumorali attraverso di essa. Poiché il raggio r del tumore è proporzionale al volume V elevato a 1/3, l’area della superficie, che è proporzionale al raggio al quadrato, è proporzionale a V^2/3 . Supponendo la densità costante, si ottiene lo stesso esponente anche per la dipendenza dalla massa.

Esempio:

prendendo T(m) =3m^2/3 -2m cosa prevede il modello?
Naturalmente la funzione ha interesse solo se m ≥ 0,
Inoltre si può dire che, se T(m) >0, la massa tumorale cresce, se T(m)<0, la massa tumorale diminuisce ponendo 3m^2/3 -2m >0 , essendo m>0, si ha:
3/2 > m^1/3 , da cui  m< 27/8 = 3.375
⇒ Il modello predice che il tumore ha una crescita limitata, non sorpassa la dimensione critica m = 3.375.

Dal grafico di T(m), si deduce che il modello prevede una crescita che aumenta con le dimensioni fino ad m=1, per m> 1 la massa tumorale continua a crescere ma rallentando la crescita, infatti T(m) diminuisce all’aumentare di m , per m>1.

Fenomeni della dinamica delle popolazioni e dei ritmi biologici

Popolazione di cellule in un ambiente ideale

Ogni cellula si riproduce sdoppiandosi dopo un intervallo di tempo tempo t₀ .

N₀=N(0)=numero popolazione all’istante iniziale

Successioni

Una successione è una funzione definita nell’insieme N dei numeri naturali:

Si applica:

Evoluzione temporale di fenomeni fisici, chimici, biologici, demografici, economici effettuando le rilevazioni

in intervalli di tempo fissati
(TEMPO DISCRETO)

Esempio: Crescita di un gattino

Funzione esponenziale

Se vuoi saperne di più sulle esponenziali:

Proprio ma proprio tutto sulle esponenziali

 

Passiamo da intervalli di tempo discreti a “tempi” continui:

Se vuoi approfondire, leggi gli articoli sotto:

Equazioni differenziali e modelli matematici applicati alla biologia

Il Faraone, il coronavirus e la crescita esponenziale

Funzione Logaritmo

La funzione inversa della funzione esponenziale è la funzione logaritmo.

cosa c’entra il logaritmo con papiri e fossili?

Decadimento radioattivo

 

La legge di decadimento del ¹⁴C

L’ atomo di carbonio ha 6 protoni ma si presenta in natura in 3 varianti:

La legge di decadimento del ¹⁴C e papiri

Misurando la quantità relativa di ¹⁴C si può stabilire l’età di fossili o di reperti

La funzione di decadimento:

Per approfondire:

Un’applicazione delle equazioni differenziali: la legge esponenziale di decadimento radioattivo

Funzioni periodiche

Ritmi biologici come variazioni stagionali, cicli giornalieri, respirazione battito del cuore sono descritti attraverso le funzioni periodiche:

Pensate che addirittura alcuni animali usano gli strumenti di trigonometria: funzioni seno e coseno:

Coordinate polari

• un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angoloe da una distanza da 0.
•  relazione può essere espressa solamente tramite le funzioni trigonometriche.

Le api usano per la danza le coordinate polari:

La Danza delle api

Con l’esecuzione di questa danza, i cui movimenti sono perfettamente codificati, l’ape operaia può comunicare alle compagne preziose informazioni sulla direzione e distanza a cui si trovano fiori, nettare, polline e sorgenti d’acqua.
Tale danza è quindi il meccanismo con il quale le api possono reclutare altre api del loro alveare per la raccolta di risorse.

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Modelli matematici, api, frattali e stormi di uccelli

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