Disequazioni trigonometriche

Disequazioni trigonometriche

Sono disequazioni in cui l’incognita è l’angolo.

Anche qui bisogna tener presente che il seno ed il coseno sono funzioni limitate tra -1 ed 1 quindi scritture quali:
sen x < 3
sara’ sempre verificata; mentre:
cos x > 4
non sara’ mai verificata.

Si possono suddividere in tre tipi fondamentali:

•  sen x > h
•  cos x > n
• tang x > p
  Naturalmente il segno potra’ essere > o <

A) Senx > h

Vediamo come risolvere la disequazione:

Senx > 1/2

Il valore del seno (1/2) e’ un valore che si trova sull’asse verticale del cerchio trigonometrico.
Se dal valore 1/2 sull’asse verticale traccio un’orizzontale la circonferenza viene suddivisa in due archi: nell’arco superiore (quello blu) il valore del seno e’ > di ½, mentre nell’arco inferiore (quello rosso) il valore del seno e’ < di ½.
So che il valore di 1/2 per il seno corrisponde a 30° e 150°.

Avremo quindi che il seno e’ > di 1/2 se l’angolo e’ compreso fra 30° e 150°: 30° < x < 150° e siccome siamo sul cerchio trigonometrico dovremo considerare tutte le soluzioni che differiscono di un giro completo:

Di solito, quando si risolve una disequazione, si preferisce indicare graficamente la soluzione con un tratto continuo dove e’ verificata e con il tratteggio dove non e’ verificata, come vedi qui sotto.

B) Cosx > n

Anche qui risolviamo su un esempio pratico.
Vediamo come risolvere la disequazione:

cos x > 1/2

Il valore del coseno (1/2) e’ un valore che si trova sull’asse orizzontale del cerchio trigonometrico.
Se dal valore 1/2 sull’asse orizzontale traccio una verticale, la circonferenza viene suddivisa in due archi: nell’arco a destra (quello blu) il valore del coseno e’ > di 1/2, mentre nell’arco a sinistra (quello rosso) il valore del coseno e’ < di 1/2 so che il valore di 1/2 per il coseno corrisponde a +60° e -60° (meglio 300°).

Avremo quindi che il coseno e’ > di 1/2 se l’angolo e’ compreso fra 0° e 30° ed anche fra 300° e 360°:
0° < x < 60°
300° < x < 360°
e, siccome siamo sul cerchio trigonometrico, dovremo considerare tutte le soluzioni che differiscono di un giro completo:

Di solito, quando si risolve una disequazione, si preferisce indicare graficamente la soluzione con un tratto continuo dove e’ verificata e con il tratteggio dove non e’ verificata come vedi qui sotto.

C) Tangx > p

Anche qui risolviamo su un esempio pratico.
Vediamo come risolvere la disequazione:
tang x > 1
Intanto consideriamo solo una semicirconferenza (da 0° a 180°) perche’ la tangente e’ periodica di periodo 180°.
Il valore della tangente (1) e’ un valore che si trova sulla verticale condotta dall’origine degli archi all’asse x.
La tangente sara’ maggiore di 1 per valori piu’ in alto del valore 1.
Se dal valore 1 cosi’ individuato traccio la congiungente al centro posso considerare sulla circonferenza tre archi: nell’arco a destra (quello blu) il valore della tangente e’ < di 1, mentre nell’arco al centro (quello viola) il valore va da 1 a ∞; invece a sinistra (quello verde) il valore della tangente va da -∞ .
So che il valore di 1 per la tangente corrisponde a 45°.

Avremo quindi che la tangente e’ > di 1 se l’angolo e’ compreso fra 45° e 90°:
45° < x < 90°
e, siccome siamo sul semicerchio trigonometrico, dovremo considerare tutte le soluzioni che differiscono di un mezzo giro completo:

Qualcuno (tra cui io) preferisce indicare tutte le soluzioni per il primo giro completo:

Di solito, quando si risolve una disequazione, si preferisce indicare graficamente la soluzione con un tratto continuo dove e’ verificata e con il tratteggio dove non e’ verificata; inoltre conviene indicare tutte le soluzioni per il primo giro completo come vedi qui sotto:

 

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