Relazioni tra gli elementi di un triangolo dipendenti dalla cotangente

Considero il triangolo rettangolo inscritto in un quarto di circonferenza come nella figura sotto:

Dalla relazione :

Quindi per la proprieta’ simmetrica:

b = a cotang α

Ora posso ribaltare il triangolo in modo che nel punto O vada l’angolo β.
Dopo il ribaltamento ho cambiato le lettere ai vertici mantenendo inalterati invece i nomi degli angoli e dei lati.
Abbiamo:

Tabella di riepilogo:

Vedi anche Relazioni tra gli elementi di un triangolo dipendenti dal seno

Vedi anche Relazioni tra gli elementi di un triangolo dipendenti dal coseno

Vedi anche Relazioni tra gli elementi di un triangolo dipendenti dalla tangente 

Tutto su Goniometria e Trigonometria

 

Esercizi sulla relazione tra elementi di un triangolo e la cotangente

Ecco 5 esercizi con soluzioni dettagliate che esplorano le relazioni tra gli elementi di un triangolo e la funzione cotangente.

Esercizio 1: Relazione tra altezza e cotangente

Problema: In un triangolo ABC, l’altezza [math]h[/math] relativa al lato BC misura 12 cm e gli angoli alla base misurano [math]B = 30^\circ[/math] e [math]C = 45^\circ[/math]. Calcola la lunghezza del lato BC.

Soluzione:

Ricordiamo che in un triangolo, la relazione tra l’altezza [math]h[/math] relativa a un lato [math]a[/math] e gli angoli adiacenti è:

[math]h = a \cdot \sin(A)[/math]

Da cui possiamo ricavare:

[math]a = \frac{h}{\sin(A)}[/math]

Nel nostro caso, dobbiamo trovare BC (che chiameremo [math]a[/math]). Sappiamo che l’angolo A (opposto al lato [math]a[/math]) si può calcolare come:

[math]A = 180^\circ – B – C = 180^\circ – 30^\circ – 45^\circ = 105^\circ[/math]

Quindi:

[math]a = \frac{h}{\sin(A)} = \frac{12}{\sin(105^\circ)}[/math]

Ricordando che [math]\sin(105^\circ) = \sin(180^\circ – 75^\circ) = \sin(75^\circ) = \cos(15^\circ)[/math]

Calcoliamo [math]\cos(15^\circ)[/math]:

[math]\cos(15^\circ) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \approx 0,9659[/math]

Quindi:

[math]a = \frac{12}{0,9659} \approx 12,42 \text{ cm}[/math]

La lunghezza del lato BC è approssimativamente 12,42 cm.

Esercizio 2: Formula della cotangente nell’area del triangolo

Problema: Dimostra che l’area di un triangolo può essere espressa come [math]S = \frac{1}{4}ab\sin(C)[/math], dove [math]a[/math] e [math]b[/math] sono due lati e [math]C[/math] è l’angolo compreso. Riscrivila poi usando la cotangente.

Soluzione:

Sappiamo che l’area di un triangolo può essere calcolata con la formula:

[math]S = \frac{1}{2}ab\sin(C)[/math]

Dove [math]a[/math] e [math]b[/math] sono due lati e [math]C[/math] è l’angolo compreso.

Per dimostrare [math]S = \frac{1}{4}ab\sin(C)[/math], notiamo che c’è un errore nell’enunciato: il fattore corretto è 1/2, non 1/4.

Dimostrazione della formula [math]S = \frac{1}{2}ab\sin(C)[/math]:

L’altezza [math]h[/math] relativa al lato [math]a[/math] è [math]h = b\sin(C)[/math].

L’area del triangolo è [math]S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin(C)[/math].

Per riscrivere questa formula usando la cotangente, ricordiamo che:

[math]\cot(C) = \frac{\cos(C)}{\sin(C)}[/math]

Quindi:

[math]\sin(C) = \frac{\cos(C)}{\cot(C)}[/math]

Sostituendo nella formula dell’area:

[math]S = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}ab\frac{\cos(C)}{\cot(C)}[/math]

L’area del triangolo può quindi essere espressa come:

[math]S = \frac{1}{2}ab\frac{\cos(C)}{\cot(C)}[/math]

Esercizio 3: Legge dei seni e cotangente

Problema: In un triangolo ABC, dimostra che [math]\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R[/math], dove [math]R[/math] è il raggio del cerchio circoscritto. Poi, esprimi [math]R[/math] in funzione di un lato e delle cotangenti degli angoli adiacenti.

Soluzione:

Dimostrazione della legge dei seni:

Consideriamo un triangolo ABC con il cerchio circoscritto di raggio [math]R[/math].

L’angolo al centro che sottende l’arco BC è [math]2A[/math].

La corda BC (cioè il lato [math]a[/math]) è data da [math]a = 2R\sin(A)[/math].

Da qui otteniamo: [math]\frac{a}{\sin(A)} = 2R[/math].

Similmente per gli altri lati: [math]\frac{b}{\sin(B)} = 2R[/math] e [math]\frac{c}{\sin(C)} = 2R[/math].

Quindi: [math]\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R[/math].

Per esprimere [math]R[/math] in funzione di un lato e delle cotangenti degli angoli adiacenti, partiamo da [math]a = 2R\sin(A)[/math].

Utilizzando l’identità [math]\sin(A) = \sin(180^\circ – B – C) = \sin(B + C)[/math], possiamo scrivere:

[math]a = 2R\sin(B + C)[/math]

Usando la formula di addizione del seno:

[math]\sin(B + C) = \sin(B)\cos(C) + \cos(B)\sin(C)[/math]

Quindi:

[math]a = 2R[\sin(B)\cos(C) + \cos(B)\sin(C)][/math]

Dividendo entrambi i membri per [math]2\sin(B)\sin(C)[/math]:

[math]\frac{a}{2\sin(B)\sin(C)} = R\left[\frac{\cos(C)}{\sin(C)} + \frac{\cos(B)}{\sin(B)}\right][/math]

[math]\frac{a}{2\sin(B)\sin(C)} = R[\cot(C) + \cot(B)][/math]

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