Teoria dei giochi e negoziazioni: la geometria nascosta del tavolo
Ci sediamo al tavolo delle trattative pensando che a fare la differenza siano soprattutto la capacità di convincere, il carisma o la freddezza con cui si fanno le proprie richieste.
In molte situazioni, però, la parte decisiva della trattativa è già stata giocata prima ancora di iniziare: dipende da quali alternative abbiamo, da quanto siamo disposti a concedere e, soprattutto, da quanto spazio esiste realmente per un accordo.
La teoria dei giochi permette di trasformare queste domande in un problema matematico.
Una trattativa può essere rappresentata come un intervallo di prezzi, come una funzione di utilità oppure, quando entrano in gioco più variabili, come una regione del piano. La geometria diventa allora un modo concreto per capire quali accordi sono possibili, quali sono inefficienti e quali permettono di creare valore per entrambe le parti.
In questo articolo partiremo dalla situazione più semplice, nella quale l’unica variabile è il prezzo, e arriveremo a una negoziazione con due variabili, prezzo e tempo di consegna. Nel percorso incontreremo BATNA, valore di riserva, ZOPA, surplus, soluzione di Nash, avversione al rischio, efficienza di Pareto e logrolling.
L’obiettivo non è trasformare una trattativa in un esercizio astratto, ma mostrare come gli strumenti matematici aiutino a capire ciò che accade intorno al tavolo.
BATNA, valore di riserva e ZOPA
Prima di scrivere una formula conviene rispondere a tre domande.
La prima è molto concreta: che cosa faccio se questa trattativa fallisce?
La seconda riguarda la soglia economica: qual è il punto oltre il quale l’accordo non è più conveniente rispetto all’alternativa?
La terza riguarda la controparte: esiste davvero uno spazio nel quale entrambe possiamo accettare un accordo?
Queste tre domande conducono a tre concetti fondamentali della teoria della negoziazione: BATNA, valore di riserva e ZOPA.
BATNA: l’alternativa se l’accordo non arriva
BATNA significa Best Alternative To a Negotiated Agreement, cioè la migliore alternativa disponibile nel caso in cui la trattativa attuale non porti a un accordo.
La BATNA non è un desiderio e non coincide con l’obiettivo che vorremmo ottenere al tavolo. È un’alternativa concreta che possiamo effettivamente mettere in pratica.
Un’azienda che sta rinnovando un contratto software, per esempio, può avere già un’offerta di un concorrente. Un lavoratore che sta trattando un nuovo contratto può avere un’altra proposta di lavoro. Un’impresa industriale può avere la possibilità di utilizzare un fornitore alternativo.
La differenza è importante perché il potere negoziale non dipende soltanto da quanto vogliamo ottenere, ma anche da quanto ci costa abbandonare la trattativa.
Immaginiamo un’azienda che deve rinnovare il proprio CRM. Il fornitore abituale propone un certo prezzo, mentre un concorrente offre il servizio a €100.000 all’anno. Per utilizzare il nuovo fornitore, però, l’azienda deve sostenere €15.000 di costi di migrazione.
La BATNA non è quindi semplicemente “pagare €100.000 a un altro fornitore”, ma consiste nell’intera alternativa concretamente disponibile, compresi i costi necessari per renderla operativa.
Il valore di riserva: quando conviene cambiare strada
Il valore di riserva è la soglia alla quale l’accordo attuale diventa equivalente, dal punto di vista dell’utilità, alla migliore alternativa disponibile.
Nel caso di un buyer, il valore di riserva rappresenta normalmente il prezzo massimo che è disposto ad accettare.
Indichiamo questo valore con [math]R_B[/math].
Per il seller, invece, rappresenta il prezzo minimo al quale è disposto a concludere l’accordo. Lo indicheremo con [math]R_S[/math].
Nel nostro esempio, se l’alternativa del buyer costa:
[math]100.000+15.000=115.000[/math]
e non ci sono altri costi o benefici da considerare, il suo valore di riserva economico è:
[math]R_B=115.000.[/math]
Questo non significa che l’azienda debba necessariamente pagare €115.000. Significa che, in assenza di altri elementi, un accordo a €115.000 è economicamente equivalente all’alternativa.
Un prezzo inferiore rende preferibile rimanere con il fornitore attuale; un prezzo superiore rende preferibile utilizzare la BATNA.
Nella realtà possono entrare nel calcolo altri elementi, come tempi di implementazione, rischio di integrazione, garanzie, qualità del servizio e costi di transizione. La soglia economica deve quindi essere costruita sulla valutazione complessiva dell’alternativa, non soltanto sul suo prezzo nominale.
Un punto importante: valore di riserva e vincolo interno non sono la stessa cosa
Questa distinzione è particolarmente utile negli esercizi di negoziazione.
Un’azienda può avere un valore di riserva economico di €115.000 e, contemporaneamente, un limite interno di spesa fissato a €105.000 dal proprio consiglio di amministrazione.
I due numeri descrivono cose diverse.
Il primo dice:
[math]\text{oltre €115.000 conviene l’alternativa}.[/math]
Il secondo dice:
[math]\text{oltre €105.000 l’azienda non è autorizzata a firmare}.[/math]
Il secondo è quindi un vincolo decisionale interno, non necessariamente il vero valore economico della BATNA.
Questa differenza può avere conseguenze importanti nella trattativa, perché una controparte potrebbe dichiarare un limite di budget senza rivelare quale sia realmente il costo dell’alternativa.
ZOPA: esiste uno spazio per l’accordo?
La ZOPA, Zone Of Possible Agreement, è la Zona di Possibile Accordo.
Nel caso più semplice, con una sola variabile, è l’intervallo dei valori che soddisfano contemporaneamente le condizioni di entrambe le parti.
Se il seller non accetta meno di [math]R_S[/math] e il buyer non paga più di [math]R_B[/math], abbiamo:
[math]\boxed{ZOPA=[R_S,R_B]}[/math]
a condizione che:
[math]R_S\leq R_B.[/math]
Se invece:
[math]R_S>R_B,[/math]
non esiste alcun prezzo accettabile da entrambe le parti e la ZOPA è vuota.
Possiamo rappresentare la situazione sulla retta reale:
ZOPA
<---------------------->
| |
R_S R_B
€80.000 €115.000
La ZOPA non dice quale sarà il prezzo finale. Dice soltanto che un accordo è economicamente possibile in quell’intervallo.
Questa distinzione è fondamentale:
[math]\boxed{\text{ZOPA} \neq \text{prezzo dell’accordo}}[/math]
La ZOPA identifica lo spazio nel quale l’accordo può avvenire; la teoria dei giochi può essere utilizzata per studiare come le parti possano arrivare a un determinato punto all’interno di quello spazio.
Il surplus: quanto valore viene creato
Supponiamo che:
[math]R_S=80.000[/math]
e
[math]R_B=115.000.[/math]
La dimensione della ZOPA è:
[math]115.000-80.000=35.000.[/math]
Questi €35.000 rappresentano il surplus complessivo disponibile rispetto alle rispettive alternative.
Se il prezzo finale è [math]P[/math], il surplus del buyer è:
[math]S_B=R_B-P[/math]
mentre quello del seller è:
[math]S_S=P-R_S.[/math]
La somma è:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
S_B+S_S &= (R_B-P)+(P-R_S) \\
&= R_B-R_S.
\end{aligned}[/math]
Il prezzo [math]P[/math] scompare dal risultato finale, perché non modifica la quantità complessiva di valore creato: determina invece come quel valore viene distribuito.
Se le parti concludono a:
[math]P=95.000,[/math]
abbiamo:
[math]S_B=115.000-95.000=20.000[/math]
e
[math]S_S=95.000-80.000=15.000.[/math]
Il surplus complessivo è quindi:
[math]S_{tot}=20.000+15.000=35.000.[/math]
Il prezzo non ha creato i €35.000: ha stabilito come dividerli.
Una prima mappa della trattativa
| Concetto | Significato matematico | Domanda da porsi |
|---|---|---|
| BATNA | Migliore alternativa concreta all’accordo | Cosa facciamo se la trattativa fallisce? |
| Valore di riserva | Soglia di indifferenza rispetto alla BATNA | Oltre quale valore l’alternativa diventa preferibile? |
| ZOPA | Intervallo dei valori accettabili per entrambe le parti | Esiste uno spazio nel quale possiamo accordarci? |
| Surplus | Valore creato rispetto alle alternative | Quanto valore viene creato e come viene distribuito? |
Da qui possiamo passare a un primo esercizio.
Esercizio: la ZOPA in una trattativa cloud ⭐
Scenario
TechNova, una PMI software, deve rinnovare il contratto cloud con CloudSphere.
Dal punto di vista economico, TechNova dispone di un’alternativa che costa €520.000 all’anno, ma il passaggio al nuovo fornitore comporta €60.000 di costi di switching nel primo anno.
La BATNA vale quindi:
[math]520.000+60.000=580.000.[/math]
TechNova ha tuttavia un vincolo interno: il CFO ha fissato un limite di spesa di €480.000 all’anno per il rinnovo.
CloudSphere, dal canto suo, ha un valore di riserva di €350.000, perché al di sotto di questa cifra preferisce utilizzare diversamente la propria capacità produttiva.
Dati
| Attore | Informazione |
|---|---|
| BATNA economica di TechNova | €580.000 |
| Limite interno di TechNova | €480.000 |
| Riserva di CloudSphere | €350.000 |
Domande
- Qual è la ZOPA economica della trattativa?
- Qual è invece la ZOPA effettivamente utilizzabile da TechNova, considerando il vincolo interno di €480.000?
- Se le parti chiudono a €420.000, quali sono i surplus rispetto alle rispettive soglie operative?
- Che cosa cambia se il costo minimo di CloudSphere sale a €500.000?
Soluzione
Dal punto di vista puramente economico, TechNova sarebbe disposta ad arrivare fino al valore della propria alternativa:
[math]R_B=580.000.[/math]
CloudSphere non scenderebbe sotto:
[math]R_S=350.000.[/math]
La ZOPA economica è quindi:
[math]\boxed{[350.000,\ 580.000]}.[/math]
Tuttavia TechNova ha un vincolo interno che impedisce di firmare oltre €480.000. La regione realmente utilizzabile nella trattativa diventa quindi:
[math]\boxed{[350.000,\ 480.000]}.[/math]
Questa distinzione mostra perché non bisogna confondere automaticamente BATNA, valore di riserva e limite organizzativo.
Se l’accordo viene chiuso a €420.000, usando il limite operativo di TechNova come soglia di confronto, il surplus del buyer è:
[math]480.000-420.000=60.000.[/math]
Il surplus del seller è:
[math]420.000-350.000=70.000.[/math]
Il surplus complessivo rispetto a queste due soglie operative è:
[math]60.000+70.000=130.000.[/math]
Se invece il minimo di CloudSphere sale a €500.000, abbiamo:
[math]500.000>480.000.[/math]
La ZOPA operativa diventa vuota. TechNova non può firmare a €500.000 a causa del proprio limite interno, mentre CloudSphere non accetta meno di €500.000.
In questo caso non basta che entrambe le parti desiderino raggiungere un accordo: non esiste un punto che soddisfi simultaneamente i due vincoli.
Che ruolo ha la BATNA?
La BATNA di TechNova è comunque importante, anche se il CFO ha fissato un limite più basso.
Dal punto di vista economico:
[math]R_B^{economico}=580.000.[/math]
Dal punto di vista organizzativo:
[math]R_B^{operativo}=480.000.[/math]
Il primo valore misura il costo dell’alternativa; il secondo determina ciò che l’azienda può effettivamente fare al tavolo.
Questa differenza può diventare una componente strategica della negoziazione, perché la controparte potrebbe non conoscere il valore reale della BATNA e potrebbe vedere soltanto il limite dichiarato.
Implementazione Python
def zopa(buyer_max: float, seller_min: float):
"""Restituisce gli estremi della ZOPA oppure None se è vuota."""
if seller_min > buyer_max:
return None
return seller_min, buyer_max
def surplus(price: float, buyer_max: float, seller_min: float) -> dict:
"""Calcola il surplus delle due parti e quello complessivo."""
return {
"buyer": buyer_max - price,
"seller": price - seller_min,
"total": buyer_max - seller_min
}
print(zopa(480_000, 350_000))
print(surplus(420_000, 480_000, 350_000))
print(zopa(480_000, 500_000))
Il codice traduce direttamente la definizione matematica: la ZOPA esiste quando il limite del buyer è almeno pari alla soglia del seller.
Prova a ragionare
Se il buyer aumenta il proprio limite massimo, la ZOPA si allarga verso destra.
Se il seller abbassa il proprio minimo, la ZOPA si allarga verso sinistra.
Se entrambi migliorano la propria BATNA, invece, la situazione non può essere descritta semplicemente dicendo che la ZOPA “si restringe”: per il buyer una BATNA migliore tende ad abbassare il prezzo massimo che è disposto a pagare, mentre per il seller una BATNA migliore tende ad aumentare il prezzo minimo che è disposto ad accettare. La sovrapposizione si riduce quindi, rendendo l’accordo più difficile.
Quando la ZOPA non basta: entra in gioco Nash ⭐⭐
Sapere che una ZOPA esiste non ci dice dove si troverà l’accordo.
Supponiamo che una trattativa salariale abbia una ZOPA compresa tra il 4% e il 5,5%. Quale valore scegliere?
Se assumiamo utilità lineari e una situazione simmetrica, possiamo rappresentare il surplus del sindacato come:
[math]S_S=x-4[/math]
e quello dell’azienda come:
[math]S_A=5,5-x.[/math]
La soluzione di Nash massimizza il prodotto dei due surplus:
[math]\max_x (x-4)(5,5-x).[/math]
Il prodotto è massimo quando i due surplus sono uguali, quindi nel punto medio:
[math]x^*=\frac{4+5,5}{2}=4,75.[/math]
Il punto medio non è una legge universale della negoziazione. È il risultato di un modello specifico, nel quale le utilità sono lineari e le parti hanno un peso simmetrico.
Questa precisazione è importante perché permette di capire che la soluzione di Nash non è semplicemente “dividere a metà”: è il risultato di una precisa funzione di ottimizzazione.
Esercizio: una trattativa salariale ⭐⭐
Scenario
Metalmeccanica Lombarda, azienda con 200 dipendenti, deve rinnovare il contratto integrativo.
Il sindacato chiede un aumento del 7%, mentre l’azienda parte dal 2%.
Il punto di riserva del sindacato è il 4%: al di sotto di questa soglia, nel modello adottato, preferisce intraprendere un’azione di sciopero.
Il punto di riserva dell’azienda è il 5,5%: oltre questa soglia, nel modello adottato, preferisce ricorrere a misure alternative.
L’inflazione considerata nell’esempio è pari al 3,2%, mentre la produttività è cresciuta dell’1,8%.
Dati
| Attore | Richiesta/offerta iniziale | Punto di riserva |
|---|---|---|
| Sindacato | +7% | +4% |
| Azienda | +2% | +5,5% |
Domande
- Qual è la ZOPA?
- Se le utilità sono lineari e simmetriche, quale aumento corrisponde alla soluzione di Nash?
- Qual è l’aumento reale associato a quel valore, con inflazione al 3,2%?
- Come cambia il risultato se il sindacato è avverso al rischio?
Soluzione
La ZOPA è:
[math]\boxed{[4\%,\ 5{,}5\%]}.[/math]
Per trovare la soluzione di Nash con utilità lineari possiamo scrivere:
[math]S_S=x-4[/math]
e:
[math]S_A=5{,}5-x.[/math]
Il prodotto di Nash è quindi:
[math]N(x)=(x-4)(5{,}5-x).[/math]
Derivando:
[math]N'(x)=5{,}5-x-(x-4).[/math]
Ponendo la derivata uguale a zero:
[math]5{,}5-x-x+4=0[/math]
e quindi:
[math]9{,}5-2x=0.[/math]
Otteniamo:
[math]\boxed{x^*=4{,}75\%}.[/math]
Il risultato coincide con il punto medio della ZOPA, ma ora sappiamo perché.
Per calcolare l’aumento reale utilizziamo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{aumento reale} &= \frac{1+0{,}0475}{1+0{,}032}-1.
\end{aligned}[/math]
Otteniamo:
[math]\text{aumento reale}\approx 0{,}0145,[/math]
cioè circa:
[math]\boxed{1{,}45\%}.[/math]
Il confronto con la crescita della produttività dell’1,8% può essere interessante dal punto di vista economico, ma non consente da solo di stabilire quale aumento salariale sia “corretto”. La matematica ci dice quale aumento reale deriva dal valore negoziato; l’interpretazione economica richiede ulteriori informazioni.
Che cosa succede con l’avversione al rischio?
Supponiamo che l’utilità del sindacato sia:
[math]u_S(x)=\sqrt{x-4}[/math]
mentre quella dell’azienda rimanga lineare:
[math]u_A(x)=5{,}5-x.[/math]
La soluzione di Nash massimizza:
[math]\sqrt{x-4}\,(5{,}5-x).[/math]
Ponendo:
[math]y=x-4,[/math]
la funzione diventa:
[math]\sqrt{y}\,(1{,}5-y).[/math]
La condizione di massimo porta a:
[math]1{,}5-y=2y[/math]
e quindi:
[math]y=0{,}5.[/math]
Di conseguenza:
[math]\boxed{x=4{,}5\%}.[/math]
La soluzione si sposta quindi dal 4,75% al 4,5%.
Il motivo è matematico prima ancora che psicologico: una funzione concava attribuisce un valore marginale maggiore alla sicurezza rispetto a una funzione lineare. Nel modello, il sindacato è quindi disposto a rinunciare a una parte del possibile surplus pur di ridurre il rischio associato alla rottura della trattativa.
Questo non significa che nella realtà ogni soggetto avverso al rischio accetterà necessariamente una determinata cifra. Significa che cambiando la funzione di utilità cambia anche il punto che massimizza il prodotto di Nash.
Implementazione Python
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar
def nash_linear(lo: float, hi: float) -> float:
"""Soluzione di Nash con surplus lineari e simmetrici."""
return (lo + hi) / 2
def nash_concave(lo: float, hi: float, alpha: float = 0.5) -> float:
"""
u_s = (x - lo)^alpha
u_a = hi - x
alpha compreso tra 0 e 1 rappresenta una funzione concava.
"""
def negative_nash_product(x):
if x <= lo or x >= hi:
return 0.0
return -((x - lo) ** alpha) * (hi - x)
result = minimize_scalar(
negative_nash_product,
bounds=(lo, hi),
method="bounded"
)
return result.x
print(nash_linear(4, 5.5))
print(nash_concave(4, 5.5, 0.5))
Il primo risultato è:
4.75
mentre il secondo è vicino a:
4.50
Il codice rende evidente una cosa importante: non esiste una soluzione di Nash indipendente dal modo in cui modelliamo le preferenze.
Prova a ragionare
Se il punto di riserva del sindacato salisse dal 4% al 5%, mentre quello dell’azienda rimanesse al 5,5%, la ZOPA diventerebbe:
[math][5\%,\ 5{,}5\%].[/math]
La soluzione di Nash lineare e simmetrica sarebbe:
[math]\frac{5+5{,}5}{2}=5{,}25\%.[/math]
Se invece il punto di riserva dell’azienda scendesse, la ZOPA si allargherebbe nella direzione opposta.
Il punto interessante è che la ZOPA dipende dalle soglie di accettazione, mentre il punto di accordo dipende anche dalle preferenze e dal modello di utilità.
Quando il tavolo ha più di una variabile: prezzo e consegna ⭐⭐⭐
Finora abbiamo rappresentato la trattativa con un solo numero.
È una semplificazione utile, ma molte negoziazioni reali non funzionano così. Il prezzo può essere accompagnato da tempi di consegna, quantità minima, durata del contratto, assistenza, garanzie, penali o condizioni di pagamento.
Quando aumentano le variabili, la geometria cambia.
Consideriamo una trattativa nella quale prezzo e tempo di consegna sono entrambi negoziabili.
Scenario
AutoParts SpA negozia con SteelTech la fornitura di acciaio.
Le due variabili sono:
- prezzo [math]P[/math], espresso in euro per tonnellata;
- tempo di consegna [math]D[/math], espresso in giorni.
I valori ammissibili sono:
[math]780\leq P\leq 900[/math]
e:
[math]5\leq D\leq 20.[/math]
AutoParts attribuisce un peso maggiore al prezzo, mentre SteelTech attribuisce un peso maggiore ai tempi di consegna.
Per AutoParts:
[math]w_P=0{,}7[/math]
e:
[math]w_D=0{,}3.[/math]
Per SteelTech:
[math]w_P=0{,}3[/math]
e:
[math]w_D=0{,}7.[/math]
Le preferenze sono quindi diverse.
Le funzioni di utilità
Per AutoParts definiamo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_B(P,D) &= 0{,}7\frac{900-P}{120} \\
&\quad + 0{,}3\frac{20-D}{15}.
\end{aligned}[/math]
La prima componente cresce quando il prezzo diminuisce, mentre la seconda cresce quando la consegna diventa più rapida.
Per SteelTech:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_S(P,D) &= 0{,}3\frac{P-780}{120} \\
&\quad + 0{,}7\frac{D-5}{15}.
\end{aligned}[/math]
In questo caso un prezzo più alto aumenta l’utilità del seller e, nel modello, un tempo di consegna più lungo è preferibile perché consente di organizzare meglio la produzione.
A questo punto la trattativa non è più un intervallo sulla retta.
Ogni possibile accordo è un punto:
[math](P,D)[/math]
nel piano.
Questa è la vera svolta geometrica del problema.
La ZOPA diventa una regione
Supponiamo che le soglie di utilità accettabili siano:
[math]U_B\geq 0{,}3[/math]
per AutoParts e:
[math]U_S\geq 0{,}3[/math]
per SteelTech.
La ZOPA è allora l’insieme dei punti che soddisfano entrambe le condizioni:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{
ZOPA =
\left\{
(P,D):
U_B(P,D)\geq 0{,}3
\ \text{e}\
U_S(P,D)\geq 0{,}3
\right\}
}
\end{aligned}[/math]
Non abbiamo più un segmento della retta, ma una regione del piano.
È un passaggio concettualmente importante:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{
\text{ZOPA in una variabile}
\ \longrightarrow\
\text{regione di accordo in due variabili}
}
\end{aligned}[/math]
Il punto medio non è necessariamente una buona soluzione
Consideriamo il punto:
[math](P,D)=(840,\ 12{,}5).[/math]
Per AutoParts:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_B(840,\ 12{,}5) &= 0{,}7\cdot 0{,}5 + 0{,}3\cdot 0{,}5 \\
&= 0{,}5.
\end{aligned}[/math]
Per SteelTech:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_S(840,\ 12{,}5) &= 0{,}3\cdot 0{,}5 + 0{,}7\cdot 0{,}5 \\
&= 0{,}5.
\end{aligned}[/math]
Entrambe le parti ottengono quindi un’utilità pari a 0,5.
A prima vista sembra una soluzione molto ragionevole, perché il punto è esattamente al centro dei due intervalli.
Ma la posizione geometrica di un punto non dice nulla, da sola, sulla sua efficienza.
Proviamo invece:
[math](P,D)=(810,\ 15).[/math]
Per AutoParts:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_B(810,\ 15) &= 0{,}7\cdot 0{,}75 \\
&\quad + 0{,}3\cdot 0{,}333\ldots
\end{aligned}[/math]
e quindi:
[math]U_B(810,\ 15)\approx 0{,}625.[/math]
Per SteelTech:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_S(810,\ 15) &= 0{,}3\cdot 0{,}25 \\
&\quad + 0{,}7\cdot 0{,}666\ldots
\end{aligned}[/math]
e quindi:
[math]U_S(810,\ 15)\approx 0{,}542.[/math]
Abbiamo dunque:
[math]0{,}625>0{,}5[/math]
e:
[math]0{,}542>0{,}5.[/math]
Il punto [math](810,\ 15)[/math] migliora entrambe le parti rispetto a [math](840,\ 12{,}5)[/math].
Questo è un miglioramento paretiano.
Non è la somma delle utilità a dimostrarlo. La condizione corretta è che una soluzione migliori almeno un giocatore senza peggiorare gli altri; nel caso considerato, addirittura migliora entrambi.
Pareto-efficienza: quando non possiamo più migliorare qualcuno senza peggiorare qualcun altro
Un accordo è Pareto-efficiente se non esiste un’altra soluzione ammissibile che migliori almeno un giocatore senza peggiorare l’altro.
Questa definizione è molto più interessante del semplice “dividere a metà”.
Nel nostro esempio, il punto:
[math](840,\ 12{,}5)[/math]
non è Pareto-efficiente perché abbiamo trovato:
[math](810,\ 15)[/math]
che migliora entrambe le utilità.
La matematica ci sta quindi dicendo qualcosa di molto concreto: un compromesso apparentemente equo può lasciare valore sul tavolo.
Logrolling: cedere su ciò che conta meno
Perché il passaggio da [math](840,\ 12{,}5)[/math] a [math](810,\ 15)[/math] può migliorare entrambe le parti?
La risposta sta nei pesi.
AutoParts attribuisce al prezzo un peso di 0,7 e alla consegna un peso di 0,3.
SteelTech attribuisce al prezzo un peso di 0,3 e alla consegna un peso di 0,7.
AutoParts è quindi relativamente più interessata al prezzo e relativamente meno interessata al tempo di consegna.
SteelTech si trova nella situazione opposta.
Questa differenza permette di scambiare concessioni.
AutoParts può accettare una consegna più lenta in cambio di un prezzo più basso, mentre SteelTech può accettare un prezzo più basso in cambio di tempi di consegna più favorevoli alla propria organizzazione produttiva.
Questo meccanismo è chiamato logrolling.
L’idea è semplice:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{
\text{cedo su ciò che per me vale meno}
\quad\text{per ottenere ciò che per me vale di più}
}
\end{aligned}[/math]
Non stiamo più semplicemente dividendo una torta già pronta. Stiamo cercando di costruire una soluzione che permetta di ottenere un valore complessivo maggiore.
Implementazione Python
def u_buyer(P, D):
"""Utilità di AutoParts."""
return (
0.7 * (900 - P) / 120
+ 0.3 * (20 - D) / 15
)
def u_seller(P, D):
"""Utilità di SteelTech."""
return (
0.3 * (P - 780) / 120
+ 0.7 * (D - 5) / 15
)
def pareto_improvement(P1, D1, P2, D2):
"""
Verifica se il secondo accordo migliora
strettamente entrambe le utilità.
"""
buyer_improved = u_buyer(P2, D2) > u_buyer(P1, D1)
seller_improved = u_seller(P2, D2) > u_seller(P1, D1)
return buyer_improved and seller_improved
print(u_buyer(840, 12.5), u_seller(840, 12.5))
print(u_buyer(810, 15), u_seller(810, 15))
print(
pareto_improvement(
840, 12.5,
810, 15
)
)
L’ultimo risultato è:
True
perché entrambe le utilità aumentano.
Possiamo anche costruire direttamente la regione della ZOPA cercando tutti i punti che soddisfano:
[math]U_B(P,D)\geq 0{,}3[/math]
e:
[math]U_S(P,D)\geq 0{,}3.[/math]
In questo modo Python non serve soltanto a fare i conti, ma diventa uno strumento per esplorare la geometria del problema.
Che cosa succede se le preferenze diventano uguali?
Supponiamo che entrambe le parti attribuiscano:
[math]w_P=0{,}5[/math]
e:
[math]w_D=0{,}5.[/math]
La differenza fondamentale del nostro esempio scompare.
Il logrolling nasce infatti dalla diversa importanza attribuita ai due temi. Se le parti valutano prezzo e consegna nello stesso modo, lo scambio tra i due elementi perde gran parte del suo vantaggio.
Questo non significa che ogni punto della regione sia automaticamente efficiente. Significa che viene meno il principale meccanismo che permetteva di creare valore attraverso la diversa struttura delle preferenze.
Dalla ZOPA alla frontiera di Pareto
A questo punto possiamo raccogliere il percorso fatto.
Nel caso più semplice avevamo una sola variabile:
[math]P\in\mathbb R.[/math]
La ZOPA era un intervallo:
[math][R_S,R_B].[/math]
Quando abbiamo introdotto prezzo e consegna, siamo passati a:
[math](P,D)\in\mathbb R^2.[/math]
La ZOPA è diventata una regione del piano.
All’interno di questa regione non tutti i punti hanno la stessa qualità. Alcuni possono essere dominati da altri, come accade per:
[math](840,\ 12{,}5)[/math]
rispetto a:
[math](810,\ 15).[/math]
La frontiera di Pareto raccoglie invece gli accordi per i quali non è più possibile migliorare una parte senza peggiorare l’altra.
La geometria rende quindi visibile un concetto che in una tabella sarebbe molto più difficile da cogliere.
Possiamo sintetizzare il percorso così:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{
\text{BATNA}
\rightarrow
\text{Riserva}
\rightarrow
\text{ZOPA}
\rightarrow
\text{Utilità}
\rightarrow
\text{Pareto}
\rightarrow
\text{Nash}
}
\end{aligned}[/math]
e, quando aumentano le variabili:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{
\text{intervallo}
\rightarrow
\text{regione}
\rightarrow
\text{frontiera}
}
\end{aligned}[/math]
Questa è la parte matematica più interessante della negoziazione: il problema cambia forma quando cambia il numero delle variabili.
Mini-quiz finale
ZOPA
Un buyer accetta al massimo €120.000 e un seller non accetta meno di €95.000.
- Qual è la ZOPA?
- Se il seller porta la propria soglia a €125.000, esiste ancora uno spazio di accordo?
Surplus
Le parti raggiungono un accordo a €105.000.
- Quanto vale il surplus del buyer?
- Quanto vale quello del seller?
- Quanto vale il surplus complessivo?
Nash
Una ZOPA è:
[math][4\%,\ 6\%].[/math]
- Con utilità lineari e simmetriche, quale punto massimizza il prodotto di Nash?
- Perché in questo caso coincide con il punto medio?
Avversione al rischio
Perché una funzione concava di utilità può spostare la soluzione di Nash rispetto al caso lineare?
Pareto
Supponiamo che un accordo A dia:
[math](U_1,U_2)=(0{,}6;\ 0{,}5)[/math]
e un accordo B dia:
[math](U_1,U_2)=(0{,}7;\ 0{,}55).[/math]
- B domina Pareto A?
- Quale proprietà delle due coppie di utilità permette di rispondere?
Negoziazione multi-issue
- Perché una differenza nelle preferenze tra prezzo e tempi di consegna può creare opportunità di logrolling?
- Che cosa accade, almeno intuitivamente, se le due parti attribuiscono esattamente gli stessi pesi a tutti gli elementi della trattativa?
Risposte
Per la prima domanda, la ZOPA è:
[math][95.000,\ 120.000].[/math]
Se il seller porta la propria soglia a €125.000, otteniamo:
[math]125.000>120.000,[/math]
quindi la ZOPA è vuota.
Con un accordo a €105.000, il surplus del buyer è:
[math]120.000-105.000=15.000,[/math]
quello del seller è:
[math]105.000-95.000=10.000,[/math]
mentre il surplus complessivo è:
[math]120.000-95.000=25.000.[/math]
Per la ZOPA [math][4\%,\ 6\%][/math], la soluzione di Nash con utilità lineari e simmetriche è:
[math]x^*=\frac{4+6}{2}=5\%.[/math]
Coincide con il punto medio perché i due surplus sono:
[math]x-4[/math]
e:
[math]6-x,[/math]
e il loro prodotto è massimo quando sono uguali.
Per l’avversione al rischio, la funzione concava modifica la relazione tra una variazione quantitativa e il suo valore in termini di utilità. Di conseguenza cambia la funzione che deve essere massimizzata e può cambiare anche il punto di Nash.
Nel confronto fra:
[math]A=(0{,}6;\ 0{,}5)[/math]
e:
[math]B=(0{,}7;\ 0{,}55),[/math]
B domina Pareto A perché:
[math]0{,}7>0{,}6[/math]
e:
[math]0{,}55>0{,}5.[/math]
Entrambe le parti stanno meglio con B.
Il logrolling è possibile quando le parti attribuiscono importanza diversa ai diversi temi della trattativa. Una concessione su un elemento poco importante per una parte può essere scambiata con un vantaggio su un elemento molto importante per la stessa parte. Quando le preferenze diventano identiche, questa fonte di valore si riduce perché entrambe le parti valutano allo stesso modo i compromessi.
Un’ultima osservazione: il punto medio non è una legge della natura
C’è una tentazione molto comune quando si affrontano le trattative: cercare il punto medio e chiamarlo “equo”.
La matematica invita a essere più prudenti.
Il punto medio può essere una buona soluzione in un modello con preferenze lineari e simmetriche, come abbiamo visto nella soluzione di Nash dell’esercizio salariale. Ma quando cambiano le funzioni di utilità, le BATNA, l’avversione al rischio o il numero delle variabili, il punto medio può perdere completamente il suo significato.
Nel problema multi-issue abbiamo visto qualcosa di ancora più interessante. Il punto:
[math](840,\ 12{,}5)[/math]
sembrava ragionevole perché si trovava esattamente al centro dei due intervalli, ma era dominato da:
[math](810,\ 15).[/math]
Non basta quindi cercare un compromesso.
Bisogna chiedersi se esiste una soluzione che migliora contemporaneamente la posizione delle parti, e poi individuare quali soluzioni rimangono sulla frontiera di Pareto.
La teoria dei giochi diventa così un modo per passare dall’intuizione alla struttura matematica:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{
\text{non soltanto “quanto concedere”, ma “quali accordi sono possibili?”}
}
\end{aligned}[/math]
e, soprattutto:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\boxed{
\text{non soltanto “dividere la torta”, ma capire se possiamo renderla più grande.}
}
\end{aligned}[/math]
È qui che la geometria della negoziazione diventa interessante: prima si individua lo spazio degli accordi possibili, poi si eliminano le soluzioni inefficienti e infine si studia quale punto della frontiera possa essere raggiunto, date le preferenze e il potere contrattuale delle parti.
📚 Teoria dei giochi, utilità e ottimizzazione
La negoziazione può essere studiata come un problema matematico in cui strategie, payoff, utilità e vincoli determinano lo spazio delle soluzioni. Questi articoli permettono di proseguire dal modello di negoziazione fino agli equilibri di Nash e ai problemi di ottimizzazione:
👉 Teoria dei giochi: gioco in forma strategica, definizioni ed esempi
👉 Introduzione alla Teoria dei Giochi
👉 Teoria dei giochi e ingresso nel mercato: Nash, minacce credibili e commitment
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