Equazioni Goniometriche Esponenziali: Metodi di Sostituzione e Disuguaglianze Algebriche

Esercizio Principale

Risolvere la seguente equazione goniometrico-esponenziale:

[math]2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3[/math]

Soluzione

L’equazione contiene gli esponenti [math]\sin^2 x[/math] e [math]\cos^2 x[/math], che sono legati dalla identità fondamentale  trigonometrica:

[math]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/math].

Introduciamo la sostituzione

[math]t = \sin^2 x[/math].

Poiché

[math]\cos^2 x = 1 – t[/math],

l’equazione diventa

[math]2^t + 2^{1-t} = 3[/math].

Passaggio algebrico

Poniamo

[math]y = 2^t[/math].

Allora

[math]2^{1-t} = \frac{2}{y}[/math].

L’equazione si trasforma in

[math]y + \frac{2}{y} = 3[/math].

Moltiplicando per [math]y[/math]:

[math]y^2 – 3y + 2 = 0[/math].

Fattorizzando:

[math](y-1)(y-2) = 0[/math].

Quindi

[math]y = 1 \quad \text{oppure} \quad y = 2[/math].

Determinazione di [math]t[/math]

Poiché [math]y = 2^t[/math],

Caso 1

[math]2^t = 1[/math]

da cui

[math]t = 0[/math].

Caso 2

[math]2^t = 2[/math]

da cui

[math]t = 1[/math].

Pertanto

[math]\sin^2 x = 0[/math]

oppure

[math]\sin^2 x = 1[/math].

Risoluzione trigonometrica

1) [math]\sin^2 x = 0[/math]

[math]\sin x = 0[/math]

quindi

[math]x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}[/math].

2) [math]\sin^2 x = 1[/math]

[math]\sin x = \pm 1[/math]

quindi

[math]x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}[/math].

Soluzione finale

Unendo i due insiemi:

[math]x = k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi[/math].

Equivalentemente,

[math]x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}[/math].

Verifica

Se

[math]x = \frac{k\pi}{2}[/math],

allora [math]\sin^2 x[/math] e [math]\cos^2 x[/math] assumono alternativamente i valori [math]0[/math] e [math]1[/math].

Pertanto

[math]2^0 + 2^1 = 1 + 2 = 3[/math],

quindi tutte le soluzioni trovate soddisfano l’equazione.

✓ Soluzione corretta.

📌Osservazione teorica

L’esercizio può essere risolto anche sfruttando la convessità della funzione esponenziale.

Infatti

[math]2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x}[/math]

con

[math]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/math]

assume valore minimo quando

[math]\sin^2 x = \cos^2 x = \frac{1}{2}[/math].

In tal caso

[math]2 \cdot 2^{1/2} = 2\sqrt{2} \approx 2.828[/math].

Poiché il valore richiesto è

[math]3 > 2\sqrt{2}[/math],

si raggiunge soltanto agli estremi [math]0[/math] e [math]1[/math], cioè quando uno dei due esponenti vale [math]0[/math] e l’altro [math]1[/math].

Esercizio avanzato 1

Risolvere

[math]3^{\sin^2 x} + 3^{\cos^2 x} = \frac{10}{3}[/math].

Soluzione

Poniamo

[math]t = \sin^2 x[/math].

Si ottiene

[math]3^t + 3^{1-t} = \frac{10}{3}[/math].

Pongo

[math]y = 3^t[/math].

Allora

[math]y + \frac{3}{y} = \frac{10}{3}[/math].

Moltiplicando per [math]3y[/math]:

[math]3y^2 – 10y + 9 = 0[/math].

Applicando la formula:

[math]\Delta = 100 – 108 = -8 < 0[/math].

Nessuna soluzione reale.

Quindi

[math]\boxed{\text{nessuna soluzione reale}}[/math]

poiché il membro sinistro è sempre maggiore di [math]\frac{10}{3}[/math].

Commento

Usando AM-GM:

[math]3^t + 3^{1-t} \ge 2\sqrt{3}[/math],

ma [math]\frac{10}{3} < 2\sqrt{3}[/math].

Esercizio avanzato 2

Risolvere

[math]2^{\sin^2 x} + 4^{\cos^2 x} = 3[/math].

Soluzione

Poniamo

[math]t = \cos^2 x[/math].

Allora

[math]2^{1-t} + 4^t = 3[/math].

Poiché

[math]4^t = 2^{2t}[/math],

poniamo

[math]y = 2^t[/math].

Otteniamo

[math]\frac{2}{y} + y^2 = 3[/math].

Moltiplicando per [math]y[/math]:

[math]y^3 – 3y + 2 = 0[/math].

Fattorizziamo:

[math](y-1)^2 (y+2) = 0[/math].

Poiché [math]y > 0[/math],

[math]y = 1[/math].

Quindi

[math]2^t = 1[/math]

e dunque

[math]t = 0[/math].

[math]\cos^2 x = 0[/math].

Segue

[math]x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}[/math].

Esercizio avanzato 3

Risolvere

[math]e^{\sin^2 x} + e^{\cos^2 x} = e + 1[/math].

Soluzione

Pongo

[math]t = \sin^2 x[/math].

[math]e^t + e^{1-t} = e + 1[/math].

Sia

[math]y = e^t[/math].

Allora

[math]y + \frac{e}{y} = e + 1[/math].

[math]y^2 – (e+1)y + e = 0[/math].

Le radici sono

[math]y = e, \quad y = 1[/math].

Da cui

[math]t = 1[/math]

oppure

[math]t = 0[/math].

Pertanto

[math]\sin^2 x = 1[/math]

oppure

[math]\sin^2 x = 0[/math].

Quindi

[math]x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}[/math].

Esercizio avanzato 4

Risolvere

[math]5^{\sin^2 x} + 5^{\cos^2 x} = 2\sqrt{5}[/math].

Soluzione

Poniamo

[math]t = \sin^2 x[/math].

[math]5^t + 5^{1-t} = 2\sqrt{5}[/math].

Per la disuguaglianza AM-GM:

[math]5^t + 5^{1-t} \ge 2\sqrt{5^t \cdot 5^{1-t}} = 2\sqrt{5}[/math].

L’uguaglianza vale se e solo se

[math]5^t = 5^{1-t}[/math].

Quindi

[math]t = 1 – t[/math].

[math]t = \frac{1}{2}[/math].

Pertanto

[math]\sin^2 x = \frac{1}{2}[/math].

Da cui

[math]\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/math].

Le soluzioni sono

[math]x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}[/math].

Negli esercizi appena visti, specialmente nel quarto, abbiamo sfiorato un concetto che merita di essere esplorato non solo con i numeri, ma con gli occhi: la disuguaglianza AM-GM. Vediamo esattamente di cosa si tratta.

📎​ Metodo generale

Le equazioni della forma

[math]a^{\sin^2 x} + a^{\cos^2 x} = m \quad (a > 0, \, a \ne 1)[/math]

si riconducono sempre a

[math]a^t + a^{1-t} = m, \quad t = \sin^2 x[/math].

La sostituzione

[math]y = a^t[/math]

porta all’equazione quadratica

[math]y^2 – m y + a = 0[/math].

Una volta trovate le radici positive [math]y[/math], si ricava

[math]t = \log_a y[/math],

e infine si risolve

[math]\sin^2 x = t[/math].

Questo schema consente di affrontare rapidamente una vasta classe di equazioni esponenziali-goniometriche di livello olimpico e universitario.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve

def analizza_equazione_esponenziale(a, m):
    """
    Analizza e risolve l'equazione a^t + a^(1-t) = m nell'intervallo t in [0, 1].
    t rappresenta sin^2(x).
    """
    print(f"--- Analisi Strutturale per a = {a}, target m = {m} ---")
    
    # 1. Definizione della funzione convessa
    def f(t):
        return a**t + a**(1 - t)
    
    # 2. Calcolo dei limiti teorici e geometrici
    limite_massimo = a + 1 # Raggiunto agli estremi t=0 e t=1
    minimo_am_gm = 2 * np.sqrt(a) # Raggiunto al centro t=0.5
    
    print(f"Dominio geometrico di t: [0, 1]")
    print(f"Valore massimo consentito (agli estremi): {limite_massimo:.4f}")
    print(f"Valore minimo teorico (AM-GM a t=0.5): {minimo_am_gm:.4f}\n")
    
    soluzioni_t = []
    
    # 3. Valutazione degli scenari basata sulle soglie energetiche
    if m < minimo_am_gm:
        print("Stato: NESSUNA SOLUZIONE REALE.")
        print(f"Il valore target ({m}) è inferiore alla barriera minima imposta dalla geometria della curva ({minimo_am_gm:.4f}).")
        
    elif np.isclose(m, minimo_am_gm):
        print("Stato: SOLUZIONE UNICA (Tangenza).")
        print("Il target coincide esattamente con il punto di minimo.")
        soluzioni_t = [0.5]
        
    elif minimo_am_gm < m <= limite_massimo:
        print("Stato: DUE SOLUZIONI DISTINTE.")
        print("Il target interseca la curva convessa in due punti simmetrici.")
        
        # Funzione di cui trovare gli zeri: f(t) - m = 0
        def eq(t): return f(t) - m
        
        # Usiamo fsolve partendo da due "guess" vicini agli estremi
        t1 = fsolve(eq, 0.1)[0]
        t2 = fsolve(eq, 0.9)[0]
        soluzioni_t = [t1, t2]
        
    else:
        print("Stato: NESSUNA SOLUZIONE NEL DOMINIO TRIGONOMETRICO.")
        print(f"Il target ({m}) è superiore al massimo consentito ({limite_massimo:.4f}).")
        print("Esisterebbero soluzioni algebriche, ma sono scartate dal vincolo t = sin^2(x) in [0,1].")

    # Stampa dei risultati
    if soluzioni_t:
        print("\nSoluzioni trovate per t = sin^2(x):")
        for i, sol in enumerate(soluzioni_t):
            print(f"t{i+1} = {sol:.4f}")

    # 4. Visualizzazione Grafica (Plotting)
    t_vals = np.linspace(0, 1, 500)
    y_vals = f(t_vals)
    
    plt.figure(figsize=(9, 6))
    
    # Curva principale
    plt.plot(t_vals, y_vals, label=f'$f(t) = {a}^t + {a}^{{1-t}}$', color='#1f77b4', linewidth=2.5)
    
    # Linea del target m
    plt.axhline(y=m, color='#d62728', linestyle='--', linewidth=2, label=f'Target $m = {m}$')
    
    # Punto di minimo
    plt.plot(0.5, minimo_am_gm, 'go', markersize=8, label=f'Minimo AM-GM ({minimo_am_gm:.2f})')
    
    # Punti di intersezione (Soluzioni)
    for sol in soluzioni_t:
        plt.plot(sol, m, 'ro', markersize=8)
        plt.vlines(x=sol, ymin=0, ymax=m, colors='gray', linestyles='dotted')
        plt.text(sol, m + 0.1, f'{sol:.2f}', horizontalalignment='center')

    # Formattazione del grafico
    plt.title('Dinamica Geometrica: Equazione Esponenziale Convessa', fontsize=14, pad=15)
    plt.xlabel('Variabile t (dove $t = \\sin^2(x)$)', fontsize=12)
    plt.ylabel('Valore Funzione', fontsize=12)
    plt.xlim(-0.05, 1.05)
    
    # Adatta l'asse Y per inquadrare bene la curva anche se m è fuori scala
    max_y_plot = max(limite_massimo + 1, m + 1)
    plt.ylim(0, max_y_plot)
    
    plt.grid(True, alpha=0.4, linestyle='--')
    plt.legend(loc='upper right', fontsize=10)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# Esempio di esecuzione: Esercizio Principale della bozza
# 2^(sin^2 x) + 2^(cos^2 x) = 3
analizza_equazione_esponenziale(a=2, m=3)

# Prova a scommentare per testare altri scenari:
# analizza_equazione_esponenziale(a=3, m=10/3) # Esercizio 1 (Nessuna soluzione)
# analizza_equazione_esponenziale(a=5, m=2*np.sqrt(5)) # Esercizio 4 (Tangenza perfetta)

Come funziona lo script:

• Vincolo Fisiologico: np.linspace(0, 1, 500) assicura che il calcolo numerico e il plot non “escano” mai dal vincolo trigonometrico.
• Controllo dei Limiti: L’algoritmo non cerca ciecamente le soluzioni. Prima analizza l’esistenza delle radici controllando se [math]m[/math] si trova nel “canale di validità” stretto tra [math]2\sqrt{a}[/math] e [math]a+1[/math].
• Ricerca Mirata: Se le soluzioni esistono, la curva è garantita essere a forma di “U”. Il codice sfrutta questa topologia iniettando in fsolve due punti di partenza (0.1 e 0.9) per catturare con certezza entrambe le radici simmetriche.