Dieci quesiti “al volo” di trigonometria. Equazioni e disequazioni goniometriche Parte VIII

Equazioni riconducibili a una sola funzione goniometrica

Qui trovi il formulario completo di goniometria e trigonometria

ESERCIZIO 1

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Per risolvere queste equazioni opportuno riscriverle con una sola funzione utilizzando le relazioni introdotte precedentemente. In questo caso applichiamo

la prima proprietà fondamentale

per trasformare il seno in coseno:

da cui, portando tutto a primo membro e raccogliendo a fattor comune:

ritroviamo una equazione riconducibile a una di II grado in cos x; ed applicando

la formula risolutiva delle equazioni di II grado:

ESERCIZIO 2

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo la definizione di tangente escludendo i valori per i quali diverge:

da cui, svolgendo i calcoli

raccogliamo a fattor comune

risolviamo separatamente i due fattori

le due soluzioni si possono riassumere in una sola: x = kπ.

ESERCIZIO 3

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Per risolvere queste equazioni opportuno riscriverle con una sola funzione utilizzando le relazioni introdotte. In questo caso applichiamo la prima proprietà fondamentale per trasformare il coseno in seno:

da cui, sommando i termini simili

questo un

prodotto notevole:

ESERCIZIO 4

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo la definizione di tangente escludendo i valori per i quali diverge:

semplifichiamo e moltiplichiamo tutto per cos x:

 

ma, per la proprietà  fondamentale:

ESERCIZIO 5

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

ricordiamo che la funzione coseno è una funzione pari, cioè  cos (−x) = cos x.

L’equazione è fratta e quindi C.E :   cos x  ≠   0, per cui x ≠ π/2 + kπ. Rendiamo ora l’equazione intera:

trasformiamo tutto in seno

cioè

il termine fra parentesi è impossibile perchè il codominio della funzione seno è compreso tra −1 e 1, per cui

ESERCIZIO 6

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo la proprietà fondamentale:

moltiplicando, sommando i termini simili e cambiando i segni

per maggiore semplicità , sostituiamo sin x = t

Applicando la regola di Ruffini,

e osservando che si annulla per t = 1, il polinomio si scompone in

tornando al seno;

ESERCIZIO 7

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Osservando i coefficienti dei quattro termini, si può  notare che è possibile e effettuare un

raccoglimento parziale

Applichiamo la legge dell’annullamento del prodotto e consideriamo il primo fattore:

pertanto

consideriamo ora il secondo fattore

Equazioni contenenti funzioni di argomenti diversi

ESERCIZIO 8

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo le formule di addizione e sottrazione

pertanto

ESERCIZIO 9

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Riscriviamo applicando la formula di duplicazione per avere argomenti uguali:

ESERCIZIO 10

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Dividiamo per cos x ≠ 0 e avremo

applichiamo la formula di duplicazione

pertanto ponendo tan x ≠ ±1

risolvendo il primo fattore

e il secondo fattore

le soluzioni sono tutte accettabili.

Qui trovi altri quesiti di trigonometria

 

 

 

 

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