Dieci quesiti “al volo” di trigonometria. Le formule goniometriche. Parte V

Usare le formule goniometriche

Addizione e sottrazione.

Per formule di addizione e sottrazione si intende il calcolo del valore di una funzione goniometrica quando il suo argomento espresso come somma o differenza di angoli.

Le relazioni sono

 

👉Qui trovi il formulario completo di goniometria e trigonometria

ESERCIZIO 1

Sapendo che 90^◦ < α < 180^◦ e che sin α =  3/5 , calcolare sin (30^◦ + α)

SOLUZIONE

applicando la formula relativa all’addizione di due angoli:

il valore di sin α = 3/5 e quello del coseno nel secondo quadrante (negativo) è:

ESERCIZIO 2

Semplificare la seguente espressione:

SOLUZIONE

Applicando le formule:

ESERCIZIO 3

Sapendo che i due angoli acuti α e β di un triangolo sono tali che tan α = 2 e tan β = 3, calcolare il terzo angolo γ.

SOLUZIONE

Calcoliamo utilizzando le formule (senza l’uso della calcolatrice) e ricordando che γ = 180^◦ – (α + β).

Per cui:

pertanto γ = 1.

Identità goniometriche con formule di somma e sottrazione

ESERCIZIO 4

Verificare la seguente identità:

SOLUZIONE

ricordando che:

Formule di duplicazione.

Le formule di duplicazione presentano la relazione tra il valore delle funzioni per un qualsiasi angolo e il valore delle stesse funzioni per il doppio di questo angolo. Sono ovviamente un caso particolare delle formule precedenti nel caso in cui α = β.

L’applicazione di queste formule può essere utilizzata ogni volta che si vuole collegare un angolo qualsiasi al suo doppio. Per cui non solo α → 2α, ma anche α/2 → α, 2α → 4α, ecc.

ESERCIZIO 5

Sapendo che cos α =  24/25  e 0 < α < 90^◦, calcolare tan 2α.

SOLUZIONE

Calcoliamo dapprima anche il valore della funzione seno (positivo) con angolo nel primo quadrante:

allora:

ESERCIZIO 6

Conoscendo sin α = 5/13  e 0 < α < π/2 , determinare cos  2α +π/6 .

SOLUZIONE

Calcoliamo dapprima il coseno (positivo) con angolo nel primo quadrante:

applichiamo la formula di addizione:

e poi quella di duplicazione:

ESERCIZIO 7

Semplificare la seguente espressione:

SOLUZIONE

Applichiamo la formula di duplicazione più conveniente dal punto di vista algebrico:

ESERCIZIO 8

Esprimere in funzione di tan α/2 la seguente espressione:

SOLUZIONE

Applichiamo la formula di duplicazione  e poichè α è il doppio di α/2:

Identità goniometriche con formule di duplicazione

ESERCIZIO 9

Verificare la seguente identità :

SOLUZIONE

applichiamo le relazioni:

dividendo il tutto per cos² α

e ricordando i prodotti notevoli

ESERCIZIO 10

Verificare la seguente identità :

SOLUZIONE

applichiamo le relazioni e la definizione di tangente:

e semplificando

 

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