Dieci quesiti “al volo” di trigonometria Parte III

Periodo delle funzioni

ESERCIZIO 1

Calcolare il periodo delle seguenti funzioni:

• 1) y = sin 5x  
• 2) y = cos 5x    
• 3) y = tan 5x

SOLUZIONE

Le funzioni sinx e cosx hanno un periodo di 2π, cioè si ripetono identiche a se stesse ogni 2π o (360^◦); la funzione tanx ha invece un periodo di π. Il periodo delle funzioni seno e coseno è  dato da:

dove ω   il coefficiente che moltiplica la variabile x. Le funzioni assegnate hanno un argomento pari a 5x, per cui i rispettivi periodi sono:

ESERCIZIO 2

Calcolare il periodo delle seguenti funzioni:

y = 3 cos (2x + 15^◦)   y = tan x/3

SOLUZIONE

Per le stesse considerazioni fatte nell’esercizio precedente:

ESERCIZIO 3

Calcolare il periodo della seguente funzione:

y = sin (x + 30^◦) − cos (2x − 10^◦) + tan 4x

SOLUZIONE

Questa è la somma di  tre funzioni  goniometriche;

il periodo comune sarà dato dal minimo comune multiplo tra i periodi di ogni addendo,

cioè:

mcm (360^◦, 180^◦, 45^◦) = 360^◦

ESERCIZIO 4

Calcolare il periodo della seguente funzione:

SOLUZIONE

Questa è la somma di due funzioni goniometriche; il periodo comune sarà dato dal minimo comune multiplo tra i due singoli periodi, cioè:

Grafici delle funzioni goniometriche e loro trasformazioni nel piano

Diamo un’occhiata ai grafici delle funzioni seno, coseno e tangente. Essi riassumono le proprietà delle funzioni, in particolare:

• le funzioni seno e coseno sono funzioni limitate, cioè   per ogni valore della variabile x, la variabile y possono assumere solo valori compresi tra  -1  ≤ y  ≤    1. Hanno periodo uguale a 2π; gli intervalli di crescenza e decrescenza, positività e negatività sono facilmente osservabili dal grafico
• la funzione tangente ha periodicità  π; essa presenta punti di discontinuità per x = π/2 +k/2 con k = 0, 1, 2, …

Vediamo sinteticamente le equazioni di trasformazione relative alle isometrie e alle affinità:.

• Equazioni che descrivono una traslazione:

dove x, y sono le variabili che descrivono le coordinate dei punti nella posizione iniziale e x^′, y^′ quelle per i punti traslati. a, b indicano gli spostamenti in orizzontale e in verticale che caratterizzano la traslazione; si possono intendere anche come le componenti del vettore traslazione r  (a, b).

• Equazioni che descrivono le simmetrie rispetto a un asse parallelo agli assi coordinati o rispetto all’origine del piano cartesiano

retta parallela all’asse x:

retta parallela all’asse y

simmetria rispetto all’origine

• Dilatazione o compressione (non sono più isometrie)

dove h, k  sono i coefficienti di dilatazione o di compressione

 

ESERCIZIO 5

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = 3 sin x

SOLUZIONE

La funzione di riferimento è la sinusoide descritta dalla funzione seno.

In questo caso si chiede che, dopo aver determinato i valori y della funzione sin x, questi vengono triplicati.

La trasformazione  quindi è una dilatazione solamente verticale. (il grafico illustra la funzione iniziale e la sua trasformata limitandoci all’intervallo [−2π; 2π]):

Il periodo rimane invariato T = 2π così come il dominio (i valori assumibili dalla x), mentre la funzione ancora limitata ma il suo codominio (cioè i valori che la y può assumere) diviene [−3; 3].

ESERCIZIO 6

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = sin 3x

SOLUZIONE

In questo caso si chiede che, dopo aver scelto il valore x dell’angolo, questo venga triplicato per poi calcolare il valore del seno di questo nuovo angolo. Qui si tratta di una compressione solamente orizzontale. (il grafico illustra la funzione iniziale e la sua trasformata nell’intervallo [−2π;2π]):

Il periodo diviene T = 2π/3 ; il dominio rimane invariato, così come il codominio.

ESERCIZIO 7

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = 2 cos x

SOLUZIONE

La funzione di riferimento è la cosinusoide descritta dalla funzione coseno.

In questo caso si chiede che, dopo aver determinato i valori y della funzione cos x, questi vengono raddoppiati. La trasformazione quindi una dilatazione solamente verticale. (il grafico illustra la funzione iniziale e la sua trasformata limitandoci all’intervallo [−2π; 2π]):

Il periodo e il dominio rimangono invariati; il codominio diviene [−2; 2].

ESERCIZIO 8

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = 2 sin x/2

SOLUZIONE

La funzione di riferimento è la funzione seno. In questo caso si chiede che, dopo aver scelto i valori x della funzione sin x, questi vengano dimezzati e dopo averne calcolato il corrispondente valore del seno, tale risultato venga raddoppiato. La trasformazione   quindi una dilatazione sia orizzontale che verticale (il grafico illustra la funzione iniziale e la sua trasformata limitandoci all’intervallo [−2π; 2π]):

In arancio la funzione seno; in viola la y = sin x/2 e in blu la funzione richiesta.

Il periodo della funzione è:

il dominio rimane invariato mentre il codominio diviene [  2; 2].

ESERCIZIO 9

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = 1/2sin x -2

SOLUZIONE

Si chiede di calcolare per i valori x della funzione sin x i corrispondenti valori di y; questi vengono poi dimezzati e al risultato viene aggiunto il numero 2. La trasformazione quindi una compressione verticale e una traslazione pure verticale, coinvolgendo i valori della y.

In successione: in arancio la funzione seno; in viola la y = 1/2sinx (compressa verticalmente); in blu la funzione richiesta, traslata verso il basso di due unità . Il periodo della funzione assegnata (in blu) è invariato T = 2π, così come il dominio mentre il codominio diviene [ − 3/2 ; − 5/2] .

ESERCIZIO 10

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = 2cos(x -π/3)

SOLUZIONE

Assegnato x si chiede di calcolare il coseno di x – 60^◦ e poi di raddoppiare il risultato ottenuto.

Questa trasformazione si identifica come una traslazione orizzontale verso destra e una dilatazione verticale.

Il Periodo e il dominio rimangono invariati, mentre il codominio è rappresentato dall’intervallo [−2; 2]

 

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