Dieci quesiti “al volo” di trigonometria. Le trasformazioni nel piano. Parte IV

Grafici delle funzioni goniometriche e loro trasformazioni nel piano

ESERCIZIO 1

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = |cos x|

SOLUZIONE

In questo caso il valore assoluto riguarda il risultato, y, restituito dalla funzione coseno applicata agli angoli x. Il valore di y dovrà risultare sempre positivo.

La curva con tratto viola rappresenta la funzione in valore assoluto; si nota che la parte positiva si sovrappone alla funzione coseno, mentre la parte negativa subisce una simmetria rispetto all’asse x. Il dominio rimane invariato, il periodo diventa π, il codominio rappresentato dall’intervallo [0, 1].

ESERCIZIO 2

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

y = cos |x|

SOLUZIONE

In questo caso il valore assoluto è  della variabile indipendente, x, che, quindi, viene sempre reso positivo prima che venga utilizzato per il calcolo della funzione coseno.

Come si vede i grafici di cos x e di cos |x|sono esattamente sovrapposti. In questo caso è come se vi fosse una simmetria rispetto all’asse delle y (la sovrapposizione deriva dal fatto che il coseno già di per sè una funzione il cui grafico  è simmetrico rispetto all’asse y, cioè, come si dice, una funzione pari. Algebricamente significa che

cos x = cos (−x).

Dominio, codominio, periodo rimangono invariati.

ESERCIZIO 3

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

SOLUZIONE

Prima di eseguire le trasformazioni, raccogliamo nell’argomento della funzione seno, ottenendo:

Si osserva che vi sono due operazioni da compiere sull’argomento del seno:

1.  assegnato x, sottrarre ad esso π/6 ;

2. raddoppiare poi il valore ottenuto.

Infine, calcolare il seno di quest’ultimo valore .

Avremo quindi una traslazione orizzontale verso destra e poi un contrazione orizzontale.

Dominio e codominio rimangono invariati, mentre la periodicità si dimezza.

ESERCIZIO 4

Tracciare il grafico della seguente funzione, indicandone il periodo, il dominio e il codominio:

SOLUZIONE

Qui abbiamo sia la traslazione orizzontale verso sinistra, sia quella verticale verso l’alto; abbiamo poi la dilatazione sia orizzontale che verticale.

Tralasciamo il grafico del seno.

Linea grigia: traslazione verso sinistra di π/3;

linea marrone: dilatazione orizzontale (dimezzato il valore dell’angolo);

linea rossa: dilatazione verticale (raddoppiato il valore di y);

linea blu: traslazione verso l’alto pari a 1 unità.

Il Dominio rimane invariato, il codominio compreso nell’intervallo [−1; 3]; mentre la periodicità raddoppia.

 

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