Equazioni goniometriche
Qui trovi il formulario completo di goniometria e trigonometria
ESERCIZIO 1
SOLUZIONE
Il seno assume il valore 1 una sola volta in ogni periodo in corrispondenza dell’angolo di 90◦, per cui
dove 2kπ tiene conto della periodicità della funzione;
ESERCIZIO 2
sin x = sin 2x nell’intervallo [0; 2π]
SOLUZIONE
Applichiamo la formula di duplicazione e portiamo tutto a primo membro
sin x − 2 sin x cos x = 0
raccogliamo
sin x (1 − 2 cos x) = 0
avremo quindi
sin x = 0 cos x = 1/2
Il seno di annulla per x = 0, π, 2π; mentre
ricordiamo infatti che il coseno positivo nel primo e quarto quadrante:
ESERCIZIO 3
sin x = cos 2x nell’intervallo [0; 2π]
SOLUZIONE
Applichiamo la formula di duplicazione e portiamo tutto a primo membro:
equazione di secondo grado in sin x, per cui, applicando la formula risolutiva delle eq. di 2 grado:
avremo quindi:
ma
ESERCIZIO 4
SOLUZIONE
Non è necessario ( anzi algebricamente controproducente applicare la formula di addizione); basta ricordare per quali angoli il seno vale
pertanto il valore di x nei due casi sarà:
ESERCIZIO 5
SOLUZIONE
Non è necessario ( anzi algebricamente controproducente applicare la formula di addizione); in questo caso ricordiamo che la funzione seno presenta valori uguali quando gli angoli sono uguali oppure sono tra loro supplementari-
1 caso: angoli uguali
2 caso: angoli supplementari:
ESERCIZIO 6
SOLUZIONE
Ricordiamo che la funzione coseno presenta valori uguali quando gli angoli sono uguali oppure sono tra loro esplementari (la loro somma pari a 360◦)
1 caso: angoli uguali:
2 caso: angoli esplementari:
ESERCIZIO 7
SOLUZIONE
In questo caso abbiamo il confronto diretto tra due funzioni diverse ma con lo stesso argomento; possiamo sfruttare questa condizione, per ottenere una sola funzione, dividendo tutto per cos (40◦ + x) ponendo ovviamente la condizione che cos (40◦ + x) ≠ 0, cioè:
poste le condizioni, dividiamo
la soluzione quindi accettabile.
Equazioni contenenti una sola funzione goniometrica.
Come si risolvono le equazioni goniometriche di secondo grado.
ESERCIZIO 8
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Questa equazione, se inizialmente consideriamo come incognita sin x, può essere considerata una equazione di secondo grado (per rendersene conto, basta e effettuare la sostituzione sin x = t);
avremo:
applicando la formula risolutiva
il valore di t = 4/3 non può essere accettato, perchè la funzione seno è limitata tra [−1; 1], per cui
ESERCIZIO 9
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Questa equazione, se inizialmente consideriamo come incognita sin x, può essere considerata una equazione di secondo grado (per rendersene conto, basta e effettuare la sostituzione sin x = t); avremo:
applicando la formula ridotta:
ricaviamo i valori di x:
ESERCIZIO 10
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Possiamo, volendo, anche evitare la sostituzione e considerare in prima istanza tan x come incognita e applicare la
formula risolutiva dell’equazione di secondo grado:
da cui
ricaviamo i valori di x
Qui trovi altri quesiti di trigonometria
(119)