Dieci quesiti “al volo” di trigonometria. Equazioni e disequazioni goniometriche Parte VII

Equazioni goniometriche

 

Qui trovi il formulario completo di goniometria e trigonometria

ESERCIZIO 1

SOLUZIONE

Il seno assume il valore 1 una sola volta in ogni periodo in corrispondenza dell’angolo di 90^◦, per cui

dove 2kπ tiene conto della periodicità della funzione;

ESERCIZIO 2

sin x = sin 2x nell’intervallo [0; 2π]

SOLUZIONE

Applichiamo la formula di duplicazione e portiamo tutto a primo membro

sin x − 2 sin x cos x = 0

raccogliamo

sin x (1 − 2 cos x) = 0

avremo quindi

sin x = 0  cos x = 1/2

Il seno di annulla per x = 0, π, 2π; mentre

ricordiamo infatti che il coseno  positivo nel primo e quarto quadrante:

ESERCIZIO 3

sin x = cos 2x nell’intervallo [0; 2π]

SOLUZIONE

Applichiamo la formula di duplicazione e portiamo tutto a primo membro:

equazione di secondo grado in sin x, per cui, applicando la formula risolutiva delle eq. di 2 grado:

avremo quindi:

ma

ESERCIZIO 4

SOLUZIONE

Non è necessario ( anzi algebricamente controproducente applicare la formula di addizione); basta ricordare per quali angoli il seno vale

pertanto il valore di x nei due casi sarà:

ESERCIZIO 5

SOLUZIONE

Non  è necessario ( anzi algebricamente controproducente applicare la formula di addizione); in questo caso ricordiamo che la funzione seno presenta valori uguali quando gli angoli sono uguali oppure sono tra loro supplementari-

1 caso: angoli uguali

2 caso: angoli supplementari:

ESERCIZIO 6

SOLUZIONE

Ricordiamo che la funzione coseno presenta valori uguali quando gli angoli sono uguali oppure sono tra loro esplementari (la loro somma pari a 360^◦)

1 caso: angoli uguali:

2 caso: angoli esplementari:

ESERCIZIO 7

SOLUZIONE

In questo caso abbiamo il confronto diretto tra due funzioni diverse ma con lo stesso argomento; possiamo sfruttare questa condizione, per ottenere una sola funzione, dividendo tutto per cos (40^◦ + x) ponendo ovviamente la condizione che cos (40^◦ + x) ≠ 0, cioè:

poste le condizioni, dividiamo

la soluzione quindi accettabile.

Equazioni contenenti una sola funzione goniometrica.

Come si risolvono le equazioni goniometriche di secondo grado.

ESERCIZIO 8

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Questa equazione, se inizialmente consideriamo come incognita sin x, può essere considerata una equazione di secondo grado (per rendersene conto, basta e effettuare la sostituzione sin x = t);

avremo:

applicando la formula risolutiva

il valore di t = 4/3 non può essere accettato, perchè la funzione seno è  limitata tra [−1; 1], per cui

ESERCIZIO 9

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Questa equazione, se inizialmente consideriamo come incognita sin x, può essere considerata una equazione di secondo grado (per rendersene conto, basta e effettuare la sostituzione sin x = t); avremo:

applicando la formula ridotta:

ricaviamo i valori di x:

ESERCIZIO 10

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Possiamo, volendo, anche evitare la sostituzione e considerare in prima istanza tan x come incognita e applicare la

formula risolutiva dell’equazione di secondo grado:

da cui

ricaviamo i valori di x

 

 

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