Dieci quesiti “al volo” di trigonometria

ESERCIZIO 1

Un esagono  è  inscritto in un cerchio.  Se la differenza tra l’area del cerchio e l’area dell’esagono  è 24 m², usare la formula dell’area di un settore per approssimare il raggio del cerchio.

SOLUZIONE

L’esagono formato da sei triangoli equilateri aventi come lato il raggio del cerchio. Pertanto, l’area dell’esagono in funzione del raggio data da:

(dove (r/2)√3  l’altezza del triangolo equilatero, o la cosiddetta apotema).

La differenza tra le due aree  data da:

ESERCIZIO 2

Sia dato un angolo al centro β  sotteso da un arco lungo 10 cm  in un cerchio di raggio 4 cm. Trovare l’area del settore circolare sotteso dall’arco assegnato.

SOLUZIONE

Troviamo l’angolo al centro in radianti, mediante la relazione:

L’area di un settore circolare si può ottenere mediante la proporzione:

ESERCIZIO 3

Dati la misura del raggio, dell’angolo al centro, trovare la lunghezza dell’arco sotteso e l’area del settore circolare: α = 3/7 π e r = 14.

SOLUZIONE

Dalla definizione di angolo radiante si ha:

mentre l’area del settore circolare sta con l’area del cerchio come l’angolo al centro sta all’angolo giro:

ESERCIZIO 4

Determinare la misura l  dell’arco, noti l’angolo al centro e il raggio: α =  π/12 e r = 6.

SOLUZIONE

Ricordando la definizione di radiante:

ESERCIZIO 5

La Terra ruota attorno al proprio asse in 23^h56^m4^s. Approssima il numero di radianti ruotati dalla Terra in un secondo.

SOLUZIONE

In un giorno si hanno:

in questo intervallo di tempo la Terra compie una rotazione pari a 2π radianti (360^◦); pertanto in un secondo:

 

ESERCIZIO 6

Se α  è  un angolo acuto (0^◦ < α < 90^◦). determinare le condizioni a cui deve sottostare il parametro k affinchè possano essere verificate le seguenti uguaglianze:

1. 3k sin α + 1 = 0
2. 2k cos α = k − 1.
3. (k  – 1) tan α  =  k  – 1

SOLUZIONE

1)

L’angolo si trova nel primo quadrante dove 0 < sin α < 1,

per cui, essendo:

2)

Anche il coseno  è  positivo nel primo quadrante ed  è  compreso in [0, 1].

3)

(k  – 1) tan α  =  k  – 1

La tangente è positiva nel primo quadrante ed  è compresa in [0, +∞  ].

Essendo:

quindi sempre positiva per k > 1.

ESERCIZIO 7

Semplificare la seguente espressione sfruttando le relazioni fondamentali e supponendo che siano definite per i valori di α considerati:

SOLUZIONE

Ricordando che tan α = sinα/cosα,

possiamo riscrivere come:

ESERCIZIO 8

Semplificare la seguente espressione:

SOLUZIONE

Ricordando che tan α = sinα/cosα, si ha:

ESERCIZIO 9

Verificare la seguente identità:

SOLUZIONE

Riscriviamo la relazione:

ESERCIZIO 10

Verificare la seguente identità:

SOLUZIONE

Riscriviamo la relazione:

 

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