Dieci quesiti “al volo” di trigonometria. Equazioni goniometriche Parte X

Equazioni omogenee in seno e coseno

Qui trovi il formulario completo di goniometria e trigonometria

ESERCIZIO 1

Risolvere la seguente equazione:

 

SOLUZIONE

Queste equazioni sono dette omogenee presentando tutti i termini con lo stesso grado; risolviamo dividendo per

cos² x ≠ 0.

Osserviamo che questo procedimento esclude gli archi x per i quali cos x = 0 ; ma ciò a ben guardare risulta non restrittivo, perché comunque tali archi non potrebbero essere soluzione! Infatti, se un arco ha il coseno nullo, allora ha il seno che può valere +1 o -1, e per un arco con coseno uguale a 0 e seno uguale a ±1 l’equazione NON è verificata.

 

ESERCIZIO 2

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Equazione omogenea; risolviamo dividendo per cos² x ≠ 0.

questa  è un’equazione di secondo grado rispetto alla tangente; applichiamo la formula risolutiva ridotta:

ESERCIZIO 3

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Equazione riconducibile ad omogenea:

questa è un’equazione di secondo grado rispetto alla tangente; applichiamo la formula risolutiva ridotta:

Equazioni goniometriche fratte

ESERCIZIO 4

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Equazione fratta, per cui

applichiamo le formule di bisezione e duplicazione

non accettabile per C.E, ma

ESERCIZIO 5

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

spostiamo tutto al primo membro e raccogliamo:

ESERCIZIO 6

Determinare il valore del parametro a per il quale l’equazione:

 è soddisfatta per x = 45^◦ .

SOLUZIONE

sostituiamo il valore assegnato dell’angolo:

Equazioni esponenziali e logaritmiche aventi per esponenti e/o argomenti delle funzioni goniometriche

ESERCIZIO 7

Risolvere la seguente equazione esponenziale

SOLUZIONE

risolviamo l’equazione, applicando le proprietà delle potenze, si può riscrivere come

è equazione lineare. Risolviamo con le formule parametriche:

ricordando le proprietà delle soluzioni di un’equazione di 2 grado, abbiamo t₁= −3 e t₂ = 1 per cui

ESERCIZIO 8

Risolvere la seguente equazione logaritmica

SOLUZIONE

Ricordiamo che l’argomento di un logaritmo non può essere negativo,  per cui le funzioni goniometriche dovranno essere considerate con codominio (0; 1].

per cui le soluzioni dovranno riguardare angoli del primo e quarto quadrante esclusi kπ.
Risolviamo l’equazione applicando le proprietà dei logaritmi, dunque si può riscrivere come

applicando la formula di bisezione:

soluzioni accettabili perchè angoli nel primo e quarto quadrante.

Disequazioni goniometriche

Disequazioni elementari.

ESERCIZIO 9

Determina i valori di x che verificano la relazione seguente, con [0; 2π]

SOLUZIONE

La funzione seno  è  positiva nei primi due quadranti e assume il valore ½ quando x = 30^◦ e x = 150^◦, l’angolo supplementare. La funzione è  crescente nel primo quadrante tra 0 e 1 e decrescente nel secondo da 1 a 0. Pertanto la soluzione sarà

30^◦ < x < 150^◦

mostriamo il risultato graficamente:

ESERCIZIO 10

Determina i valori di x che verificano la relazione seguente, con [0; 2π]

SOLUZIONE

la funzione coseno  è  positiva nel primo e quarto quadrante e assume il valore √2/2 quandox = 45^◦ e x = 315^◦, l’angolo esplementare. La funzione è decrescente nel primo quadrante tra 1 e 0 e crescente nel secondo da 0 a 1. Pertanto la soluzione sarà

0^◦ ≤ x ≤ 45^◦     315^◦ ≤ x ≤ 360^◦

mostriamo il risultato graficamente

 

 

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