Equazioni contenenti funzioni di argomenti diversi
Qui trovi il formulario completo di goniometria e trigonometria
ESERCIZIO 1
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Applichiamo
Le formule di bisezione
risolvendo
ESERCIZIO 2
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Applichiamo la formula di bisezione:
rendiamo l’equazione intera:
ESERCIZIO 3
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Applichiamo la formula di bisezione della tangente:
rendiamo l’equazione intera:
raccogliendo
ESERCIZIO 4
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Applichiamo la formula di bisezione della tangente:
rendiamo l’equazione intera ponendo cos x ≠ −1
ESERCIZIO 5
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Non è qui conveniente l’applicazione della formula di bisezione perchè trasformerebbe l’equazione in irrazionale. Useremo pertanto la formula di duplicazione per ottenere tutti gli angoli nella forma x/2.
Le formule di duplicazione
Nelle condizioni di esistenza avremo tutti i valori tranne quelli per i quali la tangente diverge.
applicando la proprietà fondamentale:
raccogliendo:
ESERCIZIO 6
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Non qui conveniente l’applicazione della formula di bisezione perchè trasformerebbe l’equazione in irrazionale. Useremo pertanto la formula di duplicazione. Ricordiamo prima che sin (180◦ – x) = sin x.
raccogliendo
ESERCIZIO 7
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Un’equazione di questo tipo è detta lineare, cioè del tipo ax + by + c = 0. Vi sono diversi modi per risolverli (le formule goniometriche non sono di grande aiuto).
Primo modo:
introdurre la sostituzione cos x = X e sin x = Y , mettendo poi a sistema l’equazione (che come quella di una retta) che si ottiene dopo la sostituzione con l’equazione della circonferenza goniometrica:
da cui:
Sostituendo a X e Y le funzioni goniometriche:
analogamente per Q:
che si possono riassumere con:
Secondo modo:
Rappresentare nel piano cartesiano la circonferenza goniometrica e la retta e trovare le intersezione tra loro. Tale metodo efficace quando i valori numerici corrispondono ad angoli noti.
Terzo metodo:
utilizzo delle formule parametriche che consentono di esprimere tutte le funzioni attraverso la tan x/2 = t.
Le formule parametriche
sostituendo nell’equazione assegnata avremo:
applicando la formula risolutiva ridotta:
ESERCIZIO 8
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Un’equazione di questo tipo è detta lineare, cioè del tipo ax + by + c = 0. Risolviamo mediante le formule parametriche. Riproduciamo le formule:
sostituendo nell’equazione assegnata avremo:
da cui:
ESERCIZIO 9
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
In questo caso possiamo utilizzare le formule di addizione e sottrazione,
ricordando che:
ESERCIZIO 10
Risolvere la seguente equazione:
SOLUZIONE
Applichiamo la definizione di tangente (considerando gli angoli per i quali definita):
applichiamo il raccoglimento parziale:
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