Dieci quesiti “al volo” di trigonometria. Equazioni goniometriche Parte IX

Equazioni contenenti funzioni di argomenti diversi

Qui trovi il formulario completo di goniometria e trigonometria

ESERCIZIO 1

Risolvere la seguente equazione:

 

SOLUZIONE

Applichiamo

Le formule di bisezione

risolvendo

ESERCIZIO 2

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo la formula di bisezione:

rendiamo l’equazione intera:

ESERCIZIO 3

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo la formula di bisezione della tangente:

rendiamo l’equazione intera:

raccogliendo

ESERCIZIO 4

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo la formula di bisezione della tangente:

rendiamo l’equazione intera ponendo cos x ≠ −1

ESERCIZIO 5

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Non è qui conveniente l’applicazione della formula di bisezione perchè trasformerebbe l’equazione in irrazionale. Useremo pertanto la formula di duplicazione per ottenere tutti gli angoli nella forma x/2.

Le formule di duplicazione

Nelle condizioni di esistenza avremo tutti i valori tranne quelli per i quali la tangente diverge.

applicando la proprietà fondamentale:

raccogliendo:

ESERCIZIO 6

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Non qui conveniente l’applicazione della formula di bisezione perchè trasformerebbe l’equazione in irrazionale. Useremo pertanto la formula di duplicazione. Ricordiamo prima che sin (180^◦  –   x) = sin x.

raccogliendo

ESERCIZIO 7

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Un’equazione di questo tipo è detta lineare, cioè del tipo ax + by + c = 0. Vi sono diversi modi per risolverli (le formule goniometriche non sono di grande aiuto).

Primo modo:

introdurre la sostituzione cos x = X e sin x = Y , mettendo poi a sistema l’equazione (che come quella di una retta) che si ottiene dopo la sostituzione con l’equazione della circonferenza goniometrica:

da cui:

Sostituendo a  X e Y le funzioni goniometriche:

analogamente per Q:

che si possono riassumere con:

Secondo modo:

Rappresentare nel piano cartesiano la circonferenza goniometrica e la retta e trovare le intersezione tra loro. Tale metodo efficace quando i valori numerici corrispondono ad angoli noti.

Terzo metodo:

utilizzo delle formule parametriche che consentono di esprimere tutte le funzioni attraverso la tan x/2 = t.

Le formule parametriche

sostituendo nell’equazione assegnata avremo:

applicando la formula risolutiva ridotta:

ESERCIZIO 8

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Un’equazione di questo tipo è  detta lineare, cioè   del tipo ax + by + c = 0. Risolviamo mediante le formule parametriche. Riproduciamo le formule:

sostituendo nell’equazione assegnata avremo:

da cui:

ESERCIZIO 9

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

In questo caso possiamo utilizzare le formule di addizione e sottrazione,

ricordando che:

ESERCIZIO 10

Risolvere la seguente equazione:

SOLUZIONE

Applichiamo la definizione di tangente (considerando gli angoli per i quali definita):

applichiamo il raccoglimento parziale:

 

Qui trovi altri quesiti di trigonometria

 

 

 

 

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