Ripassiamo l’integrazione di funzioni razionali fratte

Ci occupiamo dell’integrazione delle funzioni f (x)che si presentano nella forma  [latex]\frac{A(x))}{B(x))}[/latex] essendo A(x) e B(x) due polinomi.
Ricordiamo che una frazione algebrica si dice:

 – propria se il grado del numeratore e` minore di quello del denominatore.
–  impropria in caso contrario.

Una frazione impropria può sempre essere espressa come la somma di un polinomio con una frazione algebrica propria.

Per esempio, la frazione [latex]\frac{x^2+x+7}{x+1}[/latex] eseguendo la divisione fra i due polinomi assume la forma [latex]x+4+\frac{3}{x+1}[/latex].

In generale quindi, dati due polinomi A(x)e B(x) rispettivamente di grado m e n, con m>= n, è sempre possibile scrivere la frazione [latex]\frac{A(x))}{B(x))}[/latex] 

nella forma [latex]\frac{A(x))}{B(x))}[/latex] = Q(x)+[latex]\frac{R(x))}{B(x))}[/latex] .

dove Q(x) è il quoziente della divisione ed R(x) il resto. Poichè il grado di R(x) è minore di quello di B(x) la
frazione [latex]\frac{R(x))}{B(x))}[/latex] è sempre una frazione propria.

Questo significa che il calcolo dell’integrale indefinito di una frazione impropria è ricondotto a quelli di un polinomio
e di una frazione propria:

L’integrazione delle frazioni proprie

Per integrare una frazione propria si attuano procedimenti diversi a seconda della forma della frazione e delle
sue caratteristiche; vediamo le principali.

Funzioni della forma [latex]\large \frac{1}{ax+b}[/latex] con [latex]\large a\neq 0[/latex].

L’integrale di questa funzione ci è già noto ed è immediato:

ESEMPI:

Funzioni della forma [latex]\large \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}[/latex]

Per integrare questa funzione occorre distinguere tre casi a seconda del discriminante del denominatore.

I caso: il discriminante è nullo
Questo significa che il polinomio al denominatore è il quadrato di un binomio e ci si può ricondurre quindi a forme note.

Per esempio:

II caso: il discriminante è positivo
Questo significa che il polinomio al denominatore si può scomporre nel prodotto di due fattori di primo grado; possiamo allora vedere la funzione integranda come il risultato della somma di due frazioni proprie aventi come denominatori tali fattori.
Vediamo come si deve procedere mediante qualche esempio.

III caso: il discriminante è negativo
Anche in questo caso illustriamo come procedere mediante un esempio.

ALTRI ESEMPI:

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