Integrazione per sostituzione: Esercizi svolti riepilogativi

Integrali risolti con il metodo di sostituzione

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Sia ϕ(x), ϕ : I ⊆ R → J ⊆ R una funzione derivabile su I.

Sia f(y), f : J → R una funzione integrabile su J e sia F(y) una sua primitiva.
Allora la funzione f(ϕ(x))ϕ'(x) è integrabile su I e si ha

L’idea è di chiamare y un’opportuna funzione ϕ(x) dell’integranda e riuscire ad individuare all’interno dell’integranda la derivata secondo Leibniz dell’uguaglianza

ϕ(x) = y

vale a dire

ϕ'(x) dx = dy.

A questo punto, grazie alla formula, riscriveremo l’integrale originario come

Esercizio 1

Si calcoli:

Soluzione

Quando si opera una sostituzione è fondamentale individuare una opportuna funzione della quale compaia (o sia possibile far comparire) la derivata all’interno dell’integrale.
Vista la struttura dell’integranda, poniamo,

ϕ(x) = 3 − cos x = y

da cui

ϕ'(x) dx = 0 + sin x dx = dy

cioè

sin x dx = dy.

Pertanto, a causa del teorema di sostituzione, l’integrale indefinito diviene

che è un integrale elementare.

Si ha infatti

Poichè y = ϕ(x) = 3 − cos x,

si trova

 

Esercizio 2

Si calcoli:

 

Soluzione

Vista la struttura dell’integranda, al cui denominatore compare una somma di quadrati, si intuisce che la sostituzione più adeguata porti all’integrale che dà per risultato un’ arctan.
In particolare

conviene porre:

ϕ(x) = x² = y

 

da cui, derivando, 2x dx = dy.

Osserviamo che a numeratore non compare esattamente il fattore 2x dx: tuttavia, è possibile moltiplicare e dividere l’integranda per il fattore 2 e portare fuori il fattore 1/2.

Cioè:

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Esercizio 3

Si calcoli:

Soluzione

————-

Conviene riscrivere l’integrale come

Si intuisce convenga effettuare la sostituzione

ϕ(x) = (log x − 2) = y

da cui, derivando,

Pertanto si ha

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