Calcolo delle probabilità: i prelievi allo sportello bancomat. esercizio svolto

Esercizio 1

Presso uno sportello bancomat del centro di Milano 4 persone su 5 fanno operazione di prelievo.
a) Supponendo di estrarre a caso 10 persone (con riposizione) che si sono recate allo sportello, calcolare la probabilità che il numero totale di persone che ha prelevato sia maggiore di 9.
b) Posto che in 6 estrazioni (con riposizione) almeno 3 persone hanno prelevato, calcolare la probabilità che il numero totale di persone che ha prelevato sia maggiore di 4.
c) Supponendo di estrarre a caso 300 persone (con riposizione) che si sono recate allo sportello, calcolare la probabilità che il numero totale di persone che ha prelevato sia compreso tra 245 e 255.
d) Calcolare il numero medio di estrazioni (con riposizione) che si devono effettuare per ottenere una persona che non ha prelevato.
e) Si supponga di estrarre (con riposizione) in maniera sequenziale le persone che si sono presentate allo sportello. Calcolare la probabilità che la seconda persona che ha prelevato sia estratta alla terza estrazione.

Soluzione

a)

La probabilità di estrarre una persona che ha prelevato è pari a 4/5 = 0, 8.
Estraendo 10 persone con riposizione si ha che la variabile casuale X che conta il numero di persone che hanno prelevato si distribuisce con legge Binomiale di parametri p = 0, 8 ed n = 10:

X ∽ Bin(n = 10; p = 0, 8) .

b)

Si vuole calcolare

 

dove in questo caso

X ∽ Bin(n = 6; p = 0, 8) .

Calcolando:

si ottiene:

c)

Si consideri la v.c. X che conta fra i 300 estratti quelli che hanno prelevato.
Tale variabile si distribuisce con legge di probabilità Binomiale di parametri n = 300 e p = 0 .

Essendo il numero delle estrazioni molto elevato (> 30) è possibile approssimare X con una variabile casuale Normale Y di
aspettativa E(Y ) = 300 · 0, 8 = 240 e di varianza Var(Y ) = 300 · 0, 8 · (1 − 0, 8) = 48.

La probabilità che 245 < X < 255 è

d)

Se Y è la variabile casuale che conta il numero di estrazioni necessarie per ottenere una persona che non ha prelevato allora

Y ∽ Pascal(p = 0, 2)

e dunque:

Quindi il numero medio di estrazioni (sequenziali) per ottenere una persona che non ha prelevato è 5.

e)

Se Z è la variabile casuale che conta il numero di estrazioni (sequenziali) necessarie per ottenere 2 persone che hanno prelevato allora

Z ∽ Binomiale Negativa(r = 2; p = 0, 8) .

Quindi la probabilità che la seconda persona che ha prelevato sia estratta alla terza prova è uguale alla probabilità che Z = 3:

 

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