Un esempio “botanico” di applicazione degli intervalli di confidenza (parte II)

ESEMPIO 2 Secondo caso: varianza non nota

Prima un breve ripasso.

Come ci si comporta se la varianza σ² non è nota ma va stimata dai dati?
In quel caso costruiamo l’errore standard a partire dalla varianza campionaria, ossia:

Anche il margine d’errore sarà allora costruito a partire da questa quantità. Bisogna stabilire come vanno calcolati i valori critici da moltiplicare allo standard error in questo caso.
L’aver introdotto un’ulteriore stima nello standard error aumenta la possibilità d’errore e l’approssimazione con la normale non è più sufficiente.

Consideriamo un campione aleatorio di n osservazione
• con media X e deviazione standard S.
• estratto da una distribuzione normale con media µ.

t di Student

Allora la variabile

ha una distribuzione t di Student con n −1 gradi di libertà (df).

La distribuzione t assomiglia alla distribuzione normale standard. Ha una forma a campana ed è centrata sullo 0.

La sua deviazione standard è un po’ più grande di 1, e il suo valore preciso dipende da una quantità detta gradi di libertà, indicata con df.

Quando vogliamo eseguire un’inferenza sulla media di una popolazione, i gradi di libertà sono df = n−1, vale a dire un valore pari alla dimensione del campione meno uno.

La distribuzione t ha le code più pesanti e una maggiore variabilità rispetto alla normale standard. Tuttavia al crescere dei gradi di libertà df , la sua forma si avvicina sempre di più a quella della normale standard. Quando df è 30 o più, le due distribuzioni sono quasi identiche.

Intervallo di confidenza: media (σ² non nota)

Assunzioni:
• Deviazione standard della popolazione non nota
• Popolazione distribuita normalmente
• Se la popolazione non è distribuita normalmente si utilizzano grandi campioni
In queste situazioni si fa ricorso alla distribuzione t di Student, e calcoliamo l’intervallo di confidenza come:

Esempio:

Un campione casuale  di n = 25 ha media X = 50 ed s = 8. Determinare l’intervallo di confidenza al 95% per μ.

Torniamo ora alla “nostra” piantagione…..

Supponiamo che nell’ esempio sulla piantagione visto precedentemente, la deviazione standard per dbh non sia nota ma stimata dal campione come s = 2.09 cm. Ricordiamo che la misura media del diametro per il campione era X = 12.6 cm. Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% e al 99% per la media sconosciuta della popolazione.

Intervallo di confidenza al 95%:

Intervallo di confidenza al 99%:

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