Esercizi svolti: Intervalli di confidenza per la media (varianza incognita)

ESERCIZIO 1:

Sia dato un campione di 16 oggetti di cui si misura il peso, trovando un peso medio x = 3.42 g e uno scarto quadratico medio s = 0.68 g.
Determinare un intervallo di confidenza con grado di fiducia del 99% per il peso medio della popolazione.

SOLUZIONE

Poiché si tratta di misure, si può ragionevolmente ipotizzare che la popolazione da cui proviene il campione abbia distribuzione normale.
Il campione ha ampiezza n = 16, perciò il grado di libertà è
v = n – 1 = 15.
Dalle tavole della distribuzione t si ottiene

 

t_0.005 = 2.947.

Con la  formula

L’intervallo qui sopra  è detto intervallo di confidenza per la media μ, per piccoli campioni, con grado di fiducia (1- α) *100%. Si ricordi che il grado di libertà della distribuzione t è v = n – 1.

Il valore di t_α/2  che compare nella formula è detto valore critico della distribuzione; a ciascun grado di fiducia corrisponde un diverso valore critico, e diversamente dal caso dei grandi campioni, tale valore dipende anche dal grado di libertà della distribuzione t. I valori più comunemente usati per (1- α)  sono 0.90, 0.95 e 0.99 ; i relativi gradi di fiducia sono il 90%, il 95% e il 99%; i corrispondenti valori di tα/2 sono:

si ottiene l’intervallo di confidenza

ESERCIZIO 2:

Un campione di 10 misurazioni del diametro di una sferetta ha una media campionaria x = 4.38 cm e una deviazione standard campionaria s = 0.06 cm. Determinare gli intervalli di confidenza con grado di fiducia del 90%, 95% e 99% per il diametro medio della popolazione.

SOLUZIONE

Poiché si tratta di misure, si può ragionevolmente ipotizzare che la popolazione da cui proviene il campione abbia distribuzione normale.
Il campione ha ampiezza n = 10, perciò il grado di libertà è v = n – 1 = 9.

1) Per il grado di fiducia del 90% e il grado di libertà v = 9, si ha

Con la  formula (1) si ottiene l’intervallo di confidenza:

2) Per il grado di fiducia del 95% e il grado di libertà v = 9, si ha:

3) Per il grado di fiducia del 99% e il grado di libertà v= 9, si ha:

Si osservi come, restando invariata l’ampiezza del campione, all’ aumentare del grado di fiducia cresce l’ampiezza dell’intervallo di confidenza, ossia la stima è meno precisa.

ESERCIZIO 3:

Le misure in kg del peso di un campione di 10 studenti maschi del primo anno di un’università sono:

Trovare un intervallo di confidenza con grado di fiducia del 99% per il peso medio della popolazione universitaria maschile del primo anno di quella università.

SOLUZIONE

VARIANZA CAMPIONARIA

Si definisce varianza campionaria l’indice:

Proprietà della varianza campionaria:

Se si somma una costante c a tutti i dati la varianza non cambia. ( utile nei calcoli).

Data una variabile numerica x di taglia n con valori
x₁, x₂, . . . x_n
e due numeri non nulli a e b, la variabile numerica y di taglia n con valori
y₁ = ax₁ + b,  y₂ = ax₂ + b, . . . y_n = ax_n + b
valgono le seguenti relazioni:
y = ax + b

Calcoliamo la media e la varianza campionaria

Il campione ha ampiezza n = 10, perciò il grado di libertà è v = n – 1 = 9.

Per il grado di fiducia del 99% e il grado di libertà v = 9, si ha:

Osservazione 
La media è sensibile ai valori estremi, ossia quelli che si discostano in modo quantitativamente apprezzabile dalla maggior parte dei dati dell’insieme. Questi valori sono a volte chiamati outliers.
La mediana, non essendo sensibile ai valori estremi, è da preferire alla media come misura di tendenza centrale, quando vi sono outliers.
Per lo stesso motivo si può usare preferibilmente la mediana campionaria come stimatore della mediana della popolazione per fare inferenza sulla tendenza centrale di una popolazione; la mediana campionaria, oltre a fornire una stima puntuale della mediana della popolazione, consente anche di costruire un intervallo di confidenza per la media.

Osservazione 
Gli stimatori che non sono sensibili agli outliers sono chiamati stimatori robusti. Un altro stimatore robusto per la tendenza centrale è la media trimmed.

La media trimmed

Maggior difetto della media aritmetica (e media geometrica) è che risente fortemente dei valori estremi
 Esempio:

3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 150
Media aritmetica = 24,25 (primi 7 valori più piccoli della media).

La trimmed mean al 50% di un carattere quantitativo è la media aritmetica del 50% dei valori più centrali di un insieme di osservazioni. Ovvero nel calcolo della media non vengono considerati il 25% dei valori più piccoli ed il 25% dei valori più grandi.
3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 150

• Osservare che sono stata esclusi anche 3,5,9 che non sono “valori estremi”
•  Si può anche utilizzare altra percentuale diversa dal 50%

Dato un campione di n dati, la media trimmed al q% si calcola come segue:

1  si ordinano i dati;
2 si eliminano i q% dati più piccoli e i q% dati più grandi. I valori di solito usati sono q% = 10% o q% = 20%;
3  si calcola la media dei rimanenti dati.
Generalmente il valore della media trimmed è compreso fra la media e la mediana.
Basandosi sulla media trimmed si può costruire un intervallo di confidenza per popolazione.

 

ESERCIZIO 4:

Calcolo e confronto di più stime della media di una popolazione, per dati con outliers.

SOLUZIONE

Si estrae il seguente campione di n = 10 dati da una popolazione

Media trimmed al 10%

Si scarta il 10% dei dati più piccoli e il 10% dei dati più grandi (ossia i dati 8.5 e 14.1) prima di calcolare la media:

⇒ Come si è detto, il valore della media trimmed è compreso fra la media e la mediana.

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