Python: alcune funzioni pronte all’uso per la distribuzione normale

La distribuzione normale

Calcolare la funzione densità della distribuzione normale:

def dnorm(x,mean=0,sd =1):
    from scipy.stats import norm
    result=norm.pdf(x,loc=mean,scale=sd)
    return result

x= 1.2
print(dnorm(x,mean=0,sd =1))

0.19418605498321298

Nota bene!

La probabilità è la possibilità che la variabile abbia un valore specifico, mentre la densità di probabilità è la possibilità che la variabile si avvicini a un valore specifico, ovvero la probabilità su un intervallo. Quindi per ottenere la probabilità è necessario calcolare l’integrale della funzione di densità di probabilità su un dato intervallo. Come approssimazione, puoi semplicemente moltiplicare la densità di probabilità per l’intervallo che ti interessa e questo ti darà la probabilità effettiva.

Esempio

Riprendiamo l’esercizio 1 visto in Esercizi svolti sulla distribuzione normale standard:

Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore o uguale di 1,2.

Soluzione

La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad un certo valore x, ovvero P(Z ≤ x)

 è un valore che, per la variabile aleatoria normale standard, viene riportato in Tabella. Tale probabilità si ricava nel modo seguente: le righe della tabella corrispondono alla cifra intera ed alla prima cifra decimale del valore x, mentre le colonne della tabella corrispondono alla seconda cifra decimale del valore x. Quindi, per calcolare la probabilità che Z sia minore a 1,2, si dovrà considerare il valore riportato in tabella relativo alla riga 1,2 ed alla colonna 0. Il valore corrispondente è 0,8849. Si avrà:

P(Z ≤ 1,2) = 0,8849 

In Python:

def dnorm(x,mean=0,sd =1):
    from scipy.stats import norm
    result =stats.norm.cdf(x,loc=mean,scale=sd)
    return result
 # il nostro esercizio:   
x= 1.2
print(dnorm(x,mean=0,sd =1))

Esercizio 6

Data la variabile aleatoria normale standard Z, si calcoli la probabilità che Z sia maggiore di 2,98.

Soluzione

La probabilità che una variabile aleatoria normale standard Z sia maggiore di un certo valore x, è uguale al complemento ad uno della probabilità che la variabile aleatoria normale standard Z sia minore o uguale ad x, ovvero

P(Z > x) = 1 – P(Z ≤ x)

La metodologia da seguire per la risoluzione dell’esercizio è adesso analoga a quella illustrata nei casi precedenti. Per calcolare la probabilità che Z sia maggiore a 2,98, si dovrà considerare il valore riportato in Tabella. relativo alla riga 2,9 ed alla colonna 0,08.

Il valore corrispondente è 0,9986. Si avrà:

P(Z > 2,98) = 1 – P(Z ≤ 2,98) = 1 – 0,9986 = 0,0014

In Python:

def grnorm(x,mean=0,sd =1):
 
    from scipy.stats import norm
    result =stats.norm.sf(x,loc=mean,scale=sd)
    return result

 # il nostro esercizio:   
x= 2.98
print(grnorm(x,mean=0,sd =1))

def intnorm(x,mean,sd ):

   from scipy.stats import norm
    result =stats.norm.ppf(x,loc=mean,scale=sd)
    return result
 # il nostro esercizio ( punto a):   
x= 0.8
mean = 19
sd = 7
print(intnorm(x,mean,sd))

27.970860958812203

Esercizio 8:

Il punteggio ottenuto in un test sul quoziente di intelligenza è una variabile aleatoria X avente distribuzione normale con media µ = 100 e deviazione standard σ = 15.
Trovare la probabilità che il punteggio ottenuto da un candidato sia compreso fra 100 e 112.

⇒

In Python:

def betweennorm(x1,x2,mean,sd ):

      from scipy.stats import norm
      result = stats.norm(mean, sd).cdf(x1) - stats.norm(mean, sd).cdf(x2)
      return result

 # il nostro esercizio:   

x1= 112
x2 = 100
mean = 100
sd = 15
print(betweennorm(x1,x2,mean,sd))

0.28814460141660336

Generazione di numeri casuali con distribuzione normale

def rnorm(n,mean=0,sd=1):
    from scipy.stats import norm
    result=norm.rvs(size=n,loc=mean,scale=sd)
    return result

n =19    
print (rnorm(n,mean=0,sd=1))

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