Quando ci si trova davanti a un problema di ammissione o a una gara matematica, l’errore più comune non è sbagliare un calcolo, ma farsi guidare dall’automatismo.
Vedere una radice e correre a elevare al quadrato, o incontrare basi diverse e iniziare a manipolarle senza una strategia di contenimento, è il modo migliore per infilarsi in un vicolo cieco algebrico.
Risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche avanzate non è una questione di memoria, ma di gestione del dominio e riconoscimento delle simmetrie.
Un singolo segno meno o una base minore di uno possono ribaltare l’intero set di soluzioni.
Nelle righe che seguono risolveremo un problema classico sui radicali logaritmici e analizzeremo quattro scenari non convenzionali in cui il calcolo standard cede il passo all’intuizione funzionale.
Come leggere il problema a colpo d’occhio
Prima di impugnare la penna e lanciarsi nei calcoli, i veri campioni delle Olimpiadi “scansionano” l’equazione alla ricerca di indizi visivi. Capire la struttura del problema in tre secondi fa la differenza tra una soluzione elegante e un vicolo cieco algebrico.
Ecco come decodificare le intenzioni di chi ha scritto l’esercizio:
Basi eterogenee in sequenza (es. logaritmi in base 2, 4 e 8):
È un invito palese al cambio di base. L’obiettivo è linearizzare l’intera espressione per far emergere una comoda equazione polinomiale (spesso di terzo grado) nascosta dietro i logaritmi.
Mix di funzioni trascendenti e argomenti speculari (es. variabili [math]x[/math] e [math]2-x[/math] incastrate in esponenziali e logaritmi):
L’algebra tradizionale qui fallisce in partenza. Questo pattern urla a gran voce di usare l’analisi. Se i termini ai due lati dell’uguale sono strutturalmente identici ma con argomenti simmetrici, la chiave di volta è dimostrare l’iniettività della funzione.
Radicale maggiore di una variabile:
È il classico campanello d’allarme per lo sdoppiamento dei casi. L’istinto ti dirà di elevare al quadrato, ma il radicando impone cautela. Riconoscere subito che la disequazione è banalmente verificata quando il membro destro è negativo ti farà risparmiare metà della fatica.
Radicale uguale a un’espressione (es. [math]\sqrt{A} = B[/math]):
L’elevamento al quadrato è inevitabile per liberarsi della radice, ma porta con sé le temutissime “soluzioni fantasma”. Il pattern richiede di imporre la condizione [math]B \ge 0[/math] prima di tracciare anche un solo segno di frazione.
Problema
Risolvere in [math]\mathbb{R}[/math]:
[math]\sqrt{\log_2 x – 1} + \frac{1}{2}\log_{\frac12} x^3 + 2 > 0[/math]
Soluzione
Dominio
Serve [math]x>0[/math] (per i logaritmi) e l’argomento della radice non negativo:
[math]\log_2 x – 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; \log_2 x \ge 1 \;\Rightarrow\; x \ge 2[/math]
Sostituzione
Poniamo [math]t = \log_2 x[/math] (con [math]t \ge 1[/math]). Riscriviamo il termine logaritmico in base [math]\tfrac12[/math]:
[math]\log_{1/2} x^3 = 3\log_{1/2}x = 3\cdot\frac{\log_2 x}{\log_2(1/2)} = 3\cdot\frac{t}{-1} = -3t[/math]
quindi [math]\frac12\log_{1/2}x^3 = -\frac{3t}{2}[/math]. La disequazione diventa:
[math]\sqrt{t-1} > \frac{3t}{2} – 2 = \frac{3t-4}{2}[/math]
Risoluzione per casi
(il membro destro può essere negativo o non negativo).
Caso A:
[math]\frac{3t-4}{2}<0[/math], cioè [math]t<\frac43[/math]. Il membro sinistro è [math]\ge 0[/math], quindi la disequazione è automaticamente vera. Tenendo conto del dominio [math]t\ge1[/math]: soluzioni [math]1\le t<\frac43[/math].
Caso B:
[math]\frac{3t-4}{2}\ge 0[/math], cioè [math]t\ge\frac43[/math]. Entrambi i membri sono non negativi: possiamo elevare al quadrato senza perdere informazione.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
t-1 &> \frac{(3t-4)^2}{4} \\
4t-4 &> 9t^2-24t+16 \\
9t^2-28t+20 &< 0
\end{aligned}[/math]
Discriminante:
[math]\Delta = 784-720=64[/math], radici [math]t=\dfrac{28\pm8}{18} = 2 \;\text{ oppure }\; \dfrac{10}{9}[/math].
Quindi [math]9t^2-28t+20<0 \iff \frac{10}{9}<t<2[/math].
Intersecando con [math]t\ge\frac43=\frac{12}{9}[/math]: [math]\frac43\le t<2[/math].
Unione dei casi:
[math]\left[1,\tfrac43\right)\cup\left[\tfrac43,2\right) = [1,2)[/math]
Ritorno a [math]x[/math]: [math]1\le \log_2 x<2 \;\Rightarrow\; 2\le x<4[/math].
[math]\boxed{x\in[2,4)}[/math]
Verifica
- [math]x=2[/math] ([math]t=1[/math]): [math]\sqrt{0} + \frac12\log_{1/2}8+2 = 0-1.5+2=0.5>0[/math] ✓ (incluso)
- [math]x=3.9[/math] ([math]t\approx1.963[/math]): [math]\sqrt{0.963}\approx0.981 > \frac{3(1.963)}{2}-2\approx0.945[/math] ✓
- [math]x=4[/math] ([math]t=2[/math]): [math]\sqrt1 + \frac12\log_{1/2}64+2 = 1-3+2=0[/math], non [math]>0[/math] → escluso correttamente.
La sostituzione algebrica [math]u=\sqrt{t-1}[/math] porta a [math]3u^2-2u-1<0 \Rightarrow -\frac13<u<1[/math], cioè [math]0\le u<1 \Rightarrow t\in[1,2)[/math]: stesso risultato, metodo indipendente di conferma.
4 esercizi avanzati risolti e commentati
Esercizio 1 — Sostituzione triplice e fattorizzazione
Testo
Risolvere in [math]\mathbb{R}^+[/math]:
[math]\log_2 x \cdot \log_4 x \cdot \log_8 x = \log_2 x + \log_4 x + \log_8 x[/math]
Soluzione
Poniamo [math]t=\log_2 x[/math].
Per cambio di base: [math]\log_4 x = \dfrac{t}{2}[/math], [math]\log_8 x=\dfrac{t}{3}[/math].
Prodotto: [math]t\cdot\dfrac t2\cdot\dfrac t3 = \dfrac{t^3}{6}[/math]. Somma: [math]t+\dfrac t2+\dfrac t3 = \dfrac{11t}{6}[/math].
Equazione: [math]\dfrac{t^3}{6}=\dfrac{11t}{6} \Rightarrow t^3=11t \Rightarrow t(t^2-11)=0 \Rightarrow t\in\{0,\sqrt{11},-\sqrt{11}\}[/math].
[math]\boxed{x\in\{1,\; 2^{\sqrt{11}},\; 2^{-\sqrt{11}}\}}[/math]
Commento/verifica
Nessuna condizione aggiuntiva sul dominio oltre [math]x>0[/math], poiché [math]t[/math] può assumere qualsiasi valore reale. Verifica per [math]t=0[/math]: entrambi i membri sono [math]0[/math] ✓. La tecnica chiave è il cambio di base uniforme, che trasforma un’equazione apparentemente in tre logaritmi diversi in una semplice equazione cubica in [math]t[/math].
Esercizio 2 — Monotonia e simmetria
Testo
Risolvere in [math]\mathbb{R}[/math]:
[math]2^x+\log_2 x = 2^{2-x}+\log_2(2-x)[/math]
Soluzione
Dominio: [math]x>0[/math] e [math]2-x>0 \Rightarrow 0<x<2[/math].
Definiamo [math]f(t)=2^t+\log_2 t[/math] per [math]t>0[/math]. Entrambi gli addendi sono strettamente crescenti, quindi [math]f[/math] è strettamente crescente, dunque iniettiva.
L’equazione si scrive [math]f(x)=f(2-x)[/math]. Per l’iniettività di [math]f[/math]:
[math]x = 2-x \;\Rightarrow\; x=1[/math]
[math]\boxed{x=1}[/math]
Verifica
[math]f(1)=2^1+\log_2 1 = 2+0=2[/math]; entrambi i membri uguali a [math]2[/math] ✓. La forza di questo metodo è evitare ogni manipolazione algebrica diretta: la monotonia garantisce unicità della soluzione senza bisogno di studiare casi aggiuntivi.
Esercizio 3 — Disequazione logaritmica con base [math]<1[/math] e dominio quadratico
Testo
Risolvere in [math]\mathbb{R}[/math]:
[math]\log_{1/2}(x^2-5x+6)\ge -1[/math]
Soluzione
Dominio:
[math]x^2-5x+6>0 \Rightarrow (x-2)(x-3)>0 \Rightarrow x<2 \;\lor\; x>3[/math].
Disequazione:
poiché la base [math]\tfrac12<1[/math], la funzione [math]\log_{1/2}[/math] è decrescente, quindi il verso si inverte:
[math]\log_{1/2}(x^2-5x+6)\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; x^2-5x+6 \le \left(\tfrac12\right)^{-1}=2[/math]
[math]x^2-5x+4\le 0 \Rightarrow (x-1)(x-4)\le 0 \Rightarrow 1\le x\le 4[/math]
Intersezione con il dominio ([math]x<2[/math] o [math]x>3[/math]):
[math]\boxed{x\in[1,2)\cup(3,4]}[/math]
Verifica
- [math]x=1[/math]: arg.[math]=2[/math], [math]\log_{1/2}2=-1\ge-1[/math] ✓ (incluso, è il bordo)
- [math]x=4[/math]: arg.[math]=2[/math], stesso valore ✓ (incluso)
- [math]x=2[/math] e [math]x=3[/math]: argomento si annulla → esclusi dal dominio, correttamente fuori dall’intervallo.
Il punto delicato qui è non dimenticare il dominio del logaritmo prima di invertire il verso della disequazione: errore tipico è risolvere solo [math]1\le x\le4[/math] senza intersecare con [math](x-2)(x-3)>0[/math].
Esercizio 4 — Equazione irrazionale-logaritmica
Testo
Risolvere in [math]\mathbb{R}[/math]:
[math]\sqrt{2\log_2 x+1} = \log_2 x – 1[/math]
Soluzione
Poniamo [math]t=\log_2 x[/math].
Condizioni di esistenza:
- Argomento della radice: [math]2t+1\ge0 \Rightarrow t\ge-\tfrac12[/math]
- Il membro destro deve essere [math]\ge0[/math] (uguale a una radice): [math]t-1\ge0 \Rightarrow t\ge1[/math]
Dominio effettivo:
[math]t\ge1[/math].
Elevamento al quadrato (valido perché entrambi i membri sono [math]\ge0[/math] nel dominio):
[math]2t+1=(t-1)^2 = t^2-2t+1 \;\Rightarrow\; t^2-4t=0 \;\Rightarrow\; t(t-4)=0 \;\Rightarrow\; t\in\{0,4\}[/math]
Confronto col dominio
[math]t\ge1[/math]: [math]t=0[/math] va scartato (soluzione estranea generata dall’elevamento al quadrato); [math]t=4[/math] è accettabile.
[math]t=4 \Rightarrow \log_2 x = 4 \Rightarrow \boxed{x=16}[/math]
Verifica
Per [math]x=16[/math]: [math]\sqrt{2(4)+1}=\sqrt9=3[/math], e [math]\log_2 16-1=4-1=3[/math]. ✓ Coincidono.
Controllo dello scarto: per [math]t=0[/math] ([math]x=1[/math]) avremmo [math]\sqrt{1}=1[/math] a sinistra ma [math]0-1=-1[/math] a destra: [math]1\ne-1[/math], confermando che era effettivamente estranea, esattamente il motivo per cui la condizione 2 (membro destro [math]\ge0[/math]) andava imposta prima di elevare al quadrato.
I cinque problemi condividono una struttura pedagogica comune sostituzione [math]t=\log_a x[/math] per ricondurre equazioni/disequazioni logaritmiche a forme algebriche standard, ma illustrano quattro insidie distinte: disequazioni con segno variabile (Es. principale), iniettività come scorciatoia rigorosa (Es. 2), inversione del verso con basi [math]<1[/math] accoppiata al dominio (Es. 3), e l’imprescindibile controllo delle soluzioni estranee dopo un elevamento al quadrato (Es. 4).
Analisi applicativa
Problema Principale: La gestione dei casi
Questo problema è un classico esempio di struttura “ibrida”. Unisce l’andamento asintotico del logaritmo alla restrizione geometrica della radice quadrata.
Perché è interessante: L’esercizio costringe a dividere lo spazio delle soluzioni in due semipiani logici (Caso A e Caso B). La maggior parte degli studenti manca di rigore e dimentica che se il membro destro di una disequazione irrazionale del tipo [math]\sqrt{f(x)} > g(x)[/math] è negativo, la disequazione è automaticamente vera ovunque il radicando sia definito. È un test sulla capacità di non procedere col pilota automatico.
Esercizio 1: L’inganno dell’apparente asimmetria
L’aspetto visivo del prodotto a sinistra opposto alla somma a destra suggerisce una complessità elevata o l’applicazione di disuguaglianze notevoli (come AM-GM).
Perché è interessante: Mostra l’efficacia del cambio di base uniforme come strumento di semplificazione. Una volta linearizzate le basi portandole tutte a [math]2[/math], il problema collassa in un’equazione di terzo grado incompleta dove la tentazione di dividere per [math]t[/math] (perdendo la soluzione [math]t=0[/math], e quindi [math]x=1[/math]) rappresenta il vero sbarramento selettivo.
Esercizio 2: L’ approccio funzionale
Se si tenta di risolvere questo esercizio tramite manipolazioni algebriche tradizionali, isolando la [math]x[/math] o usando le proprietà dei logaritmi, si finisce bloccati in un’equazione trascendente mista (esponenziale-logaritmica) non risolvibile elementarmente.
Perché è interessante: È l’emblema del superamento dell’algebra attraverso l’analisi.
Riconoscere la stretta monotonia di [math]f(t) = 2^t + \log_2 t[/math] permette di invocare l’iniettività. L’uguaglianza formale [math]f(x) = f(2-x)[/math] si traduce immediatamente in un’equazione lineare di primo grado. È l’esercizio che premia chi pensa prima di calcolare.
Esercizio 3: La trappola della base frazionaria
L’argomento è una parabola, mentre la base del logaritmo è inferiore all’unità.
Perché è interessante: Mette in luce la comprensione profonda della funzione logaritmica. Quando la base è compresa tra [math]0[/math] e [math]1[/math], l’operatore logaritmo inverte l’ordine degli argomenti. L’errore tipico qui è duplice: dimenticare di invertire il verso della disequazione o dimenticare di porre l’argomento strettamente maggiore di zero. L’intersezione finale degli intervalli grafici richiede una precisione visiva non banale.
Esercizio 4: La genesi delle soluzioni estranee
Un’equazione apparentemente lineare nei logaritmi che nasconde un’insidia quadratica.
Perché è interessante: Quando eleviamo al quadrato un’uguaglianza come [math]A = B[/math], stiamo in realtà risolvendo [math]A^2 = B^2[/math], che include sia [math]A = B[/math] sia [math]A = -B[/math]. Questo esercizio è fondamentale per comprendere l’importanza delle condizioni di concordanza del segno del membro non irrazionale ([math]B \ge 0[/math]). Dimostra che la matematica non dimentica le forzature algebriche e richiede sempre un bilancio di coerenza finale.
I 4 Pilastri della Sopravvivenza Logaritmica
Per consolidare quanto esplorato in questi cinque scenari olimpici, ecco un riassunto dei principi chiave da tenere a mente per affrontare qualsiasi sfida analoga senza cadere nelle trappole dei correttori:
Il Dominio non è un dettaglio:
Le condizioni di esistenza (argomenti dei logaritmi strettamente positivi, radicandi non negativi) non sono noiose formalità, ma l’impalcatura stessa del problema. Vanno imposte all’inizio e intersecate scrupolosamente alla fine. Un passo falso qui invalida un’intera pagina di matematica perfetta.
La Monotonia come scorciatoia:
Quando un’equazione mescola logaritmi, esponenziali e polinomi, smetti di cercare manipolazioni algebriche. Dimostrare che una funzione è strettamente crescente (o decrescente) trasforma un labirinto trascendente nella semplice uguaglianza dei suoi argomenti. Pensa prima, calcola dopo.
Attenzione alle basi minori di uno:
Una base del logaritmo compresa tra zero e uno agisce come uno specchio deformante. Invertire il verso della disuguaglianza al momento di togliere il logaritmo non è una sottigliezza, ma la regola d’oro assoluta che separa le risposte corrette da quelle disastrosamente sbagliate.
A caccia di soluzioni estranee:
L’algebra non ha memoria. Elevare al quadrato un’equazione distrugge l’informazione sul segno originario, generando radici matematicamente perfette ma logicamente impossibili nel contesto di partenza. Imposta sempre la condizione di concordanza del segno (ad esempio [math]B \ge 0[/math] per un’equazione del tipo [math]\sqrt{A} = B[/math]) per filtrare spietatamente i “falsi positivi”.
Logaritmi, Equazioni e Disequazioni Logaritmiche
👉I logaritmi: definizione, proprietà e interpretazione
👉Equazioni e disequazioni logaritmiche: 6 esercizi svolti passo passo
👉Logaritmi con base variabile: sistemi misti e casi critici
👉Disequazioni: guida completa con esercizi e casi parametrici
👉Disequazioni logaritmiche: guida pratica e casi particolari
👉Logaritmi ed esponenziali: esercizi applicati all’economia aziendale
(19)
Altri articoli nella categoria "Esercizi svolti su equazioni e disequazioni"
- Equazioni Irrazionali: Quando la Struttura del Problema Nasconde la Soluzione
- Equazioni Omogenee Esponenziali: Guida Pratica con Esercizi Svolti e Applicazioni
- Equazioni e Disequazioni Irrazionali: Guida Completa con Esercizi Svolti, Errori Comuni e Applicazioni
- Come Risolvere i Radicali: Semplificazione, Razionalizzazione ed Equazioni Irrazionali (con Esercizi)
- Disequazioni Logaritmiche Irrazionali: Architettura delle Soluzioni e Metodo di Sostituzione
- Disequazioni Logaritmiche: Guida Pratica con Esercizi Svolti e Casi Particolari
- Equazioni Logaritmiche e Dominio: Come Calcolare le Condizioni di Esistenza
- Perché sbagli i calcoli? I 20 errori di matematica più frequenti e come correggerli
- Equazioni Parametriche: Esercizi Svolti in Fisica, Circuiti Elettrici e Ottimizzazione Aziendale
- Equazioni Fratte e Parametriche: C.E., Soluzioni Apparenti ed Esercizi Svolti Passo Passo