Disequazioni Logaritmiche ed Esponenziali: 6 Esercizi Pratici Svolti per l’Economia Aziendale

Scommettiamo che, pensando ai logaritmi, la prima cosa che ti viene in mente è una serie di formule astratte e regole da memorizzare per il prossimo compito in classe. E se ti dicessi che quegli stessi strumenti matematici sono il “dietro le quinte” delle decisioni che ogni giorno un manager, un esperto di marketing o un analista finanziario deve prendere?

In questo articolo non ci limiteremo a “risolvere esercizi”. Useremo le disequazioni logaritmiche ed esponenziali per rispondere a domande concrete: “Dopo quanto tempo questa startup andrà in attivo?”, “Questa campagna social sta crescendo abbastanza in fretta?”, “È il momento giusto per vendere questo macchinario?”.

Attraverso 6 sfide progressive, vedrai come la matematica si trasforma da materia di studio a strumento strategico per navigare il complesso mondo dell’economia e della gestione aziendale.

Pronto a iniziare?

Esercizio 1: Punto di Pareggio di un Negozio Online (Facile)

Testo: Un piccolo negozio online di abbigliamento sostiene costi fissi mensili di €500. Il profitto netto per ogni capo venduto è di €8. La funzione che modella il profitto mensile totale [math]P(x)[/math] (in euro) in base al numero [math]x[/math] di capi venduti è [math]P(x)=8x-500[/math]. Per pianificare le spese pubblicitarie, il gestore vuole sapere quanti capi deve vendere almeno per iniziare a ottenere un profitto positivo (cioè [math]P(x)>0[/math]).

Risoluzione:

Impostazione della Disequazione:

Vogliamo che il profitto sia maggiore di zero.

[math]8x-500>0[/math]

Risoluzione della Disequazione di Primo Grado:

Isoliamo la [math]x[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned} 8x &> 500 \\ x &> \frac{500}{8} \\ x &> 62.5 \end{aligned}[/math]

Interpretazione del Risultato:

Poiché [math]x[/math] rappresenta il numero di capi venduti, deve essere un numero intero. Quindi, il negozio deve vendere almeno 63 capi al mese per essere in profitto.

💡 Osservazione:
Anche se questo è un semplice esercizio di primo grado, è il fondamento di ogni analisi di costo-beneficio. Il valore [math]x=62.5[/math] è il punto di pareggio (break-even point), ma in contesti discreti (come pezzi venduti) si approssima per eccesso.

Domanda di Riflessione:
Perché in questo caso non abbiamo usato i logaritmi?

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Esercizio 2: Crescita di un Fondo Social Media (Facile/Medio)

Testo: La pagina Instagram di un’azienda ha attualmente 1,000 follower. L’azienda lancia una campagna virale e stima che il numero di follower cresca del 5% ogni giorno. Dopo quanti giorni [math]t[/math] il numero di follower supererà i 2,000? La crescita è modellata dalla funzione [math]F(t)=1000 \cdot (1.05)^t[/math].

Risoluzione:

Impostazione della Disequazione:

Vogliamo che [math]F(t)>2000[/math].

[math]1000 \cdot (1.05)^t > 2000[/math]

Isolamento dell’Esponenziale:

Dividiamo entrambi i membri per 1000.

[math](1.05)^t > 2[/math]

Applicazione del Logaritmo:

Applichiamo il logaritmo in base 10 (o naturale) a entrambi i membri. Poiché la base [math]1.05>1[/math], il senso della disuguaglianza non cambia.

[math]\log_{10}((1.05)^t) > \log_{10}(2)[/math]

Utilizzo della Proprietà dei Logaritmi:

Applichiamo la proprietà [math]\log(a^b)=b \cdot \log(a)[/math].

[math]t \cdot \log_{10}(1.05) > \log_{10}(2)[/math]

Isolamento della Variabile [math]t[/math]:

Poiché [math]\log_{10}(1.05)[/math] è un numero positivo (circa 0.0212), possiamo dividere entrambi i membri senza cambiare il verso.

[math]t > \frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1.05)}[/math]

Calcolo Numerico:

Usando una calcolatrice: [math]\log_{10}(2) \approx 0.3010[/math], [math]\log_{10}(1.05) \approx 0.0212[/math].

[math]t > \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2[/math]

Interpretazione del Risultato:

Poiché [math]t[/math] rappresenta i giorni, [math]t[/math] deve essere un numero intero. Quindi, il numero di follower supererà i 2000 dopo 15 giorni.

💡 Osservazione:
La formula [math]t > \frac{\log(2)}{\log(1.05)}[/math] è una versione specifica della “Regola del 72” per il raddoppio di un capitale. Qui stiamo calcolando il tempo di raddoppio esatto.

Domanda di Riflessione:
Quale proprietà fondamentale dei logaritmi ci ha permesso di “portare giù” l’esponente [math]t[/math]?

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Esercizio 4: Pianificazione della Capacità Produttiva (Medio/Difficile)

Testo: Un’azienda produce componenti elettronici. Il suo attuale magazzino può contenere 10,000 unità. La domanda mensile [math]D[/math] (in unità) è data da [math]D(m)=2000 \cdot \ln(3m+10)[/math], dove [math]m[/math] è il numero di mesi da oggi. Tra quanti mesi la domanda supererà la capacità del magazzino?

Risoluzione:

Impostazione della Disequazione Logaritmica:

Vogliamo che [math]D(m)>10000[/math].

[math]2000 \cdot \ln(3m+10) > 10000[/math]

Isolamento del Logaritmo:

Dividiamo entrambi i membri per 2000.

[math]\ln(3m+10) > 5[/math]

Esponenziazione per Eliminare il Logaritmo:

Poiché il logaritmo è in base [math]e[/math], applichiamo la funzione esponenziale [math]e^x[/math] a entrambi i membri. La funzione esponenziale è crescente, quindi il verso della disuguaglianza rimane.

[math]e^{\ln(3m+10)} > e^5[/math]

Per la definizione di logaritmo, [math]e^{\ln(a)}=a[/math]. Quindi:

[math]3m+10 > e^5[/math]

Calcolo e Isolamento di [math]m[/math]:

Calcoliamo [math]e^5 \approx 148.41[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned} 3m+10 &> 148.41 \\ 3m &> 138.41 \\ m &> \frac{138.41}{3} \\ m &> 46.14 \end{aligned}[/math]

Interpretazione del Risultato:

La domanda supererà la capacità del magazzino dopo 47 mesi.

💡 Osservazione:
La strategia risolutiva per una disequazione logaritmica nella forma [math]\ln(A(m))>k[/math] è:

1. Isolare il logaritmo.
2. Esponenziare per eliminarlo, ricordando che se la base è >1 (come [math]e[/math]) il verso non cambia.
3. Risolvere la disequazione algebrica risultante.

Domanda di Riflessione:
Quale operazione inversa al logaritmo naturale abbiamo usato per risolvere la disequazione?

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Esercizio 5: Analisi del Rendimento di un Investimento (Difficile)

Testo: Un investitore sta valutando un fondo. Il rendimento annuo effettivo [math]R[/math] (in percentuale) è legato al numero di anni di vincolo [math]t[/math] dalla formula: [math]\log_2(R-1)+\log_2(t)<4[/math]. Determina per quali valori di [math]t[/math] (con [math]t>1[/math]) il rendimento [math]R[/math] risulta essere inferiore al 20%.

Risoluzione:

Impostazione del Sistema:

Prima di tutto, sostituiamo [math]R=20[/math] nella disequazione per trovare il caso limite. Poi studieremo la disequazione originale.

[math]\displaystyle \begin{aligned} \log_2(20-1) + \log_2(t) &< 4 \\ \log_2(19) + \log_2(t) &< 4 \end{aligned}[/math]

Utilizzo della Proprietà dei Logaritmi:

Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto: [math]\log_b(A)+\log_b(C)=\log_b(A \cdot C)[/math].

[math]\log_2(19 \cdot t) < 4[/math]

Eliminazione del Logaritmo:

La base del logaritmo è 2, che è >1. Quindi, la funzione logaritmica è crescente e possiamo esponenziare in base 2 senza cambiare il verso.

[math]2^{\log_2(19t)} < 2^4[/math]
[math]19t < 16[/math]

Isolamento di [math]t[/math] e Interpretazione:

[math]t < \frac{16}{19} \approx 0.84[/math]

Questo risultato ([math]t<0.84[/math]) è in conflitto con l’ipotesi [math]t>1[/math]. Cosa significa?

Analisi Critica:

Se per [math]R=20[/math] otteniamo [math]t<0.84[/math], ma noi vogliamo [math]t>1[/math], significa che per [math]t>1[/math] la disuguaglianza [math]\log_2(R-1)+\log_2(t)<4[/math] non è mai soddisfatta quando [math]R=20[/math]. In altre parole, per [math]t>1[/math], il rendimento [math]R[/math] è sempre maggiore del 20%.

💡 Osservazione Strategica:
A volte, risolvere una disequazione porta a una conclusione che contraddice le condizioni di esistenza. In questo caso, l’analisi ci mostra che l’investimento è molto vantaggioso, superando sempre la soglia del 20% per vincoli superiori a un anno. È un ottimo esempio di come la matematica possa fornire insight decisionali.

Domanda di Riflessione:
Quali sono state le condizioni di esistenza che abbiamo implicitamente considerato per i logaritmi nella disequazione originale? ([math]R>1[/math] e [math]t>0[/math]).

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Esercizio 6: Ottimizzazione del Livello di Scorta (Molto Difficile)

Testo: In un’azienda di e-commerce, il costo totale [math]C[/math] di gestione delle scorte di un prodotto è dato da [math]C(q)=100 \cdot \ln(2q+50) + \frac{500}{q}[/math], dove [math]q>0[/math] è la quantità di pezzi in magazzino. L’azienda vuole mantenere il costo totale sotto le 600 unità monetarie. Determina l’intervallo di valori di [math]q[/math] per cui questo avviene.

Risoluzione:

Impostazione della Disequazione:

[math]100 \cdot \ln(2q+50) + \frac{500}{q} < 600[/math]

Semplificazione:

Dividiamo tutto per 100 per semplificare.

[math]\ln(2q+50) + \frac{5}{q} < 6[/math]

Questa disequazione non è risolvibile algebricamente in modo esatto con metodi elementari. Dobbiamo ricorrere a un metodo grafico/numerico.

Strategia di Soluzione Grafica:

Definiamo due funzioni:

• [math]f(q)=\ln(2q+50) + \frac{5}{q}[/math]
• [math]g(q)=6[/math] (una retta orizzontale)

Dobbiamo trovare per quali [math]q[/math] il grafico di [math]f(q)[/math] sta sotto il grafico di [math]g(q)[/math].

Analisi Qualitativa e Ricerca di Soluzioni:

Proviamo alcuni valori con la calcolatrice:

f(10) = ln(70) + 0.5 ≈ 4.25 + 0.5 = 4.75 < 6
f(50) = ln(150) + 0.1 ≈ 5.01 + 0.1 = 5.11 < 6
f(100) = ln(250) + 0.05 ≈ 5.52 + 0.05 = 5.57 < 6
f(200) = ln(450) + 0.025 ≈ 6.11 + 0.025 = 6.135 > 6
f(150) = ln(350) + 0.033 ≈ 5.86 + 0.033 = 5.893 < 6
f(180) = ln(410) + 0.028 ≈ 6.02 + 0.028 = 6.048 > 6

Determinazione dell’Intervallo:

Dai calcoli, [math]f(q)<6[/math] per [math]q[/math] fino a un valore poco prima di 180. Troviamo un’approssimazione migliore.

f(175) = ln(400) + 0.02857 ≈ 5.99 + 0.0286 = 6.0186 > 6
f(170) = ln(390) + 0.02941 ≈ 5.97 + 0.0294 = 5.9994 \approx 6
f(169) = ln(388) + 0.02959 ≈ 5.96 + 0.0296 = 5.9896 < 6

Quindi, [math]f(q) \approx 6[/math] per [math]q \approx 170[/math].

Ecco il codice Python per generare il grafico dell’Esercizio  e verificare la soluzione:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.optimize import fsolve

# Configurazione dello stile
plt.style.use('default')
sns.set_palette("husl")

# Definizione della funzione costo
def C(q):
    return 100 * np.log(2*q + 50) + 500/q

# Definizione della funzione semplificata per trovare l'intersezione
def f(q):
    return np.log(2*q + 50) + 5/q - 6

# Creazione dell'array di valori q
q_values = np.linspace(10, 300, 500)
costo_values = C(q_values)
linea_soglia = np.full_like(q_values, 600)

# Troviamo il punto di intersezione preciso
# Usiamo fsolve per trovare dove f(q) = 0, cioè dove C(q) = 600
q_intersezione = fsolve(f, 170)[0]
costo_intersezione = C(q_intersezione)

print("=" * 60)
print("VERIFICA ANALITICA DELLA SOLUZIONE")
print("=" * 60)
print(f"Punto di intersezione calcolato: q ≈ {q_intersezione:.2f}")
print(f"Costo al punto di intersezione: C({q_intersezione:.2f}) = {costo_intersezione:.2f}")
print(f"\nValori di verifica:")
print(f"C(169) = {C(169):.2f}")
print(f"C(170) = {C(170):.2f}") 
print(f"C(175) = {C(175):.2f}")
print(f"C(180) = {C(180):.2f}")

# Creazione del grafico
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 10))

# Grafico principale - Funzione costo
ax1.plot(q_values, costo_values, linewidth=2.5, label='C(q) = 100·ln(2q+50) + 500/q', color='blue')
ax1.axhline(y=600, color='red', linestyle='--', linewidth=2, label='Soglia costo: 600')
ax1.axvline(x=q_intersezione, color='green', linestyle=':', linewidth=2, label=f'q ≈ {q_intersezione:.1f}')

# Evidenziazione della regione accettabile
mask_accettabile = q_values <= q_intersezione
ax1.fill_between(q_values[mask_accettabile], costo_values[mask_accettabile], 600, 
                 alpha=0.2, color='green', label='Regione accettabile')

ax1.set_xlabel('Quantità in magazzino (q)', fontsize=12, fontweight='bold')
ax1.set_ylabel('Costo Totale C(q)', fontsize=12, fontweight='bold')
ax1.set_title('Analisi del Costo di Gestione Scorte', fontsize=14, fontweight='bold')
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.set_xlim(10, 300)
ax1.set_ylim(400, 700)

# Zoom nella regione critica
q_zoom = np.linspace(150, 190, 200)
costo_zoom = C(q_zoom)

ax2.plot(q_zoom, costo_zoom, linewidth=2.5, color='blue')
ax2.axhline(y=600, color='red', linestyle='--', linewidth=2, label='Soglia 600')
ax2.axvline(x=q_intersezione, color='green', linestyle=':', linewidth=2, label=f'Intersezione: q = {q_intersezione:.1f}')
ax2.plot(q_intersezione, costo_intersezione, 'ro', markersize=8, label=f'Punto critico ({q_intersezione:.1f}, {costo_intersezione:.1f})')

ax2.set_xlabel('Quantità in magazzino (q)', fontsize=12, fontweight='bold')
ax2.set_ylabel('Costo Totale C(q)', fontsize=12, fontweight='bold')
ax2.set_title('Zoom nella Regione Critica', fontsize=14, fontweight='bold')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.set_ylim(590, 610)

plt.tight_layout()
plt.show()

============================================================
VERIFICA ANALITICA DELLA SOLUZIONE
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Punto di intersezione calcolato: q ≈ 170.90
Costo al punto di intersezione: C(170.90) = 600.00

Valori di verifica:
C(169) = 599.06
C(170) = 599.56
C(175) = 602.00
C(180) = 604.39

Conclusione:

Il costo totale [math]C(q)[/math] è inferiore a 600 per [math]0 < q \lessapprox 170[/math]. In termini aziendali, la scorta ottimale per contenere i costi è fino a circa 170 pezzi.

💡 Osservazione Finale:
Non tutte le equazioni o disequazioni della vita reale hanno una soluzione “in bella forma”. È fondamentale saper passare da un metodo algebrico a uno numerico/grafico. Questo esercizio simula un reale problema di ottimizzazione in cui la soluzione va approssimata.

Domanda di Riflessione:
Perché in questo caso non è stato possibile isolare la variabile [math]q[/math] con passaggi algebrici standard? Quale termine della funzione lo ha impedito?

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