Come calcolare logaritmi con il cambio di base: formule, espansioni e stime analitiche

Prima delle calcolatrici elettroniche, i logaritmi erano uno degli strumenti più potenti per trasformare moltiplicazioni difficili in somme semplici. Oggi questa funzione sembra dimenticata, ma la loro struttura algebrica nasconde ancora un principio fondamentale: conoscere poche relazioni può permettere di ricostruire interi sistemi di valori.

Quando ci troviamo davanti a un logaritmo con una base anomala, l’istinto immediato è quello di digitare i numeri su una tastiera e accontentarsi del risultato decimale.

Dal punto di vista algebrico, però, i logaritmi non sono semplici numeri: sono ingranaggi. Se conosciamo le proprietà di un paio di elementi base, possiamo usarli per smontare e ricostruire espressioni apparentemente intrattabili.

In questo articolo vediamo esattamente come fare.

Partendo da due soli dati noti, sfrutteremo la fattorizzazione in numeri primi e la regola del cambio di base per risolvere espressioni complesse, fino ad arrivare a stimare il valore di un logaritmo intrappolandolo tra due frazioni, usando esclusivamente l’analisi matematica.

 Problema principale

Se [math]\log_2 3 = a[/math] e [math]\log_3 5 = b[/math], esprimere [math]\log_{12} 50[/math] in funzione di [math]a[/math] e [math]b[/math].

La strategia fondamentale consiste nel riportare ogni termine a un’unica base comune (base 2), per poi decomporre numeratore e denominatore sfruttando la fattorizzazione in numeri primi di [math]50[/math] e [math]12[/math].

Passo 1 — Cambio di base globale:

[math]\displaystyle \log_{12} 50 = \frac{\log_2 50}{\log_2 12}[/math]

Passo 2 — Scomposizione del numeratore:
Poiché [math]50 = 2 \cdot 5^2[/math]:

[math]\displaystyle \log_2 50 = \log_2 2 + \log_2 5^2 = 1 + 2\log_2 5[/math]

Il valore [math]\log_2 5[/math] non è noto direttamente, ma si ricava concatenando i due dati iniziali tramite la regola della catena (o cambiamento di base):

[math]\displaystyle \log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3} \implies \log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = ab[/math]

Sostituendo, otteniamo: [math]\log_2 50 = 1 + 2ab[/math].

Passo 3 — Scomposizione del denominatore:
Poiché [math]12 = 2^2 \cdot 3[/math]:

[math]\displaystyle \log_2 12 = \log_2 2^2 + \log_2 3 = 2 + a[/math]

Combinando i risultati dei tre passi, si ottiene la formula risolutiva:

[math]\displaystyle \log_{12} 50 = \frac{1 + 2ab}{2 + a}[/math]

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 Quattro varianti avanzate

Applichiamo la medesima tecnica spingendo l’algoritmo in quattro direzioni strutturali differenti.

Esercizio 1 · Tre variabili (Estensione della catena)

Aggiungendo un terzo elemento alla catena, [math]\log_5 7 = c[/math], esprimere [math]\log_6 175[/math] in funzione di [math]a, b, c[/math].

Risoluzione:

Scomponiamo in base 2. Il numeratore è [math]175 = 5^2 \cdot 7[/math], da cui:

[math]\displaystyle \log_2 175 = 2\log_2 5 + \log_2 7[/math]

Sappiamo già che [math]\log_2 5 = ab[/math].

Per l’argomento a base 7, concateniamo nuovamente:

[math]\displaystyle \log_2 7 = \log_2 5 \cdot \log_5 7 = (ab) \cdot c = abc[/math]

Il numeratore diventa raccoglibile a fattor comune: [math]\log_2 175 = ab(2 + c)[/math].

Il denominatore è semplicemente [math]6 = 2 \cdot 3 \implies \log_2 6 = 1 + a[/math].

[math]\displaystyle \log_6 175 = \frac{ab(2 + c)}{1 + a}[/math]

Nota: Ogni nuovo fattore primo introdotto nella catena genera un prodotto progressivo delle variabili ([math]ab, abc, \dots[/math]).

È l’eredità algebrica della scomposizione in fattori primi applicata agli esponenti.

Esercizio 2 · Una sola variabile (Riduzione dimensionale)

Esprimere [math]\log_{18} 72[/math] usando esclusivamente [math]a = \log_2 3[/math].

Risoluzione:

Notiamo che [math]18 = 2 \cdot 3^2[/math] e [math]72 = 2^3 \cdot 3^2[/math].

Entrambi i numeri coinvolgono solo i primi 2 e 3. Il parametro [math]b[/math] (legato al fattore 5) non entra in gioco.

[math]\displaystyle \log_2 18 = 1 + 2a \qquad \text{e} \qquad \log_2 72 = 3 + 2a[/math]

[math]\displaystyle \log_{18} 72 = \frac{3 + 2a}{1 + 2a}[/math]

Esercizio 3 · Struttura mista (Intersezione di fattori)

Esprimere [math]\log_{15} 1000[/math] in funzione di [math]a[/math] e [math]b[/math].

Risoluzione:

Scomponiamo la base del logaritmo [math]15 = 3 \cdot 5[/math] e l’argomento [math]1000 = 2^3 \cdot 5^3[/math].

Denominatore: [math]\log_2 15 = \log_2 3 + \log_2 5 = a + ab = a(1 + b)[/math]

Anche qui il fattore primo 5 non introduce una nuova variabile perché è già collegato alla base 2 attraverso la catena

$2\rightarrow3\rightarrow5$.

Numeratore: [math]\log_2 1000 = 3 + 3\log_2 5 = 3 + 3ab = 3(1 + ab)[/math]

[math]\displaystyle \log_{15} 1000 = \frac{3(1 + ab)}{a(1 + b)}[/math]

 

Esercizio 4 · Stima rigorosa senza calcolatrice

Dimostrare analiticamente che:

[math]\displaystyle \frac{10}{7} < \log_{12} 50 < \frac{18}{11}[/math]

Per evitare l’uso della calcolatrice, intrappoliamo [math]a[/math] e [math]b[/math] tra potenze di frazioni note:

Stima di [math]a = \log_2 3[/math]:

[math]2^{3/2} = \sqrt{8} < 3 \implies a > \frac{3}{2}[/math]

[math]2^{5/3} = \sqrt[3]{32} > 3 \implies a < \frac{5}{3}[/math]

Quindi: [math]a \in \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{3}\right)[/math]

Stima di [math]b = \log_3 5[/math]:

[math]3^{4/3} = \sqrt[3]{81} < 5 \implies b > \frac{4}{3}[/math]

[math]3^{3/2} = \sqrt{27} > 5 \implies b < \frac{3}{2}[/math]

Quindi: [math]b \in \left(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}\right)[/math]

Analisi di Monotonia

Sia [math]f(a,b) = \frac{1 + 2ab}{2 + a}[/math].

Non possiamo limitarci a sostituire gli estremi senza aver prima verificato il segno delle derivate parziali nel dominio di interesse:

Rispetto a [math]b[/math]:

Il denominatore è indipendente da [math]b[/math] e il numeratore è lineare con coefficiente positivo ([math]2a > 0[/math]). Dunque [math]\frac{\partial f}{\partial b} > 0[/math] (strettamente crescente in [math]b[/math]).

Rispetto a [math]a[/math]:

Calcoliamo la derivata parziale tramite la regola del quoziente:

[math]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial a} = \frac{2b(2 + a) – (1 + 2ab)(1)}{(2 + a)^2} = \frac{4b – 1}{(2 + a)^2}[/math]

Poiché nel nostro dominio [math]b > \frac{4}{3}[/math],

il numeratore [math]4b – 1 > 4\left(\frac{4}{3}\right) – 1 = \frac{13}{3} > 0[/math].

Dunque [math]\frac{\partial f}{\partial a} > 0[/math] (strettamente crescente in [math]a[/math]).

Essendo la funzione strettamente crescente rispetto a entrambe le variabili, il minimo assoluto e il massimo assoluto sul compatto bidimensionale si trovano necessariamente agli estremi inferiori e superiori del rettangolo di stima:

Limite inferiore:

[math]\displaystyle f\left(\frac{3}{2}, \frac{4}{3}\right) = \frac{1 + 2\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)}{2 + \frac{3}{2}} = \frac{1 + 4}{\frac{7}{2}} = \frac{10}{7}[/math]

Limite superiore:

[math]\displaystyle f\left(\frac{5}{3}, \frac{3}{2}\right) = \frac{1 + 2\left(\frac{5}{3}\right)\left(\frac{3}{2}\right)}{2 + \frac{5}{3}} = \frac{1 + 5}{\frac{11}{3}} = \frac{18}{11}[/math]

Resta così dimostrata la disuguaglianza: [math]\displaystyle \frac{10}{7} < \log_{12} 50 < \frac{18}{11}[/math].

Il passaggio fondamentale non è trovare due valori vicini, ma dimostrare che all’interno della regione considerata non possono esistere valori nascosti più piccoli o più grandi.

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L’importanza Applicativa degli Esercizi

Le meccaniche esplorate in questi quattro scenari riflettono problemi concreti che si affrontano in ambito algoritmico e nell’analisi dei dati:

L’Esercizio 1 (Estensione della catena) mostra un principio ricorrente in molti sistemi matematici: la propagazione dell’informazione attraverso una sequenza di relazioni locali.

L’Esercizio 2 (Riduzione dimensionale) mostra un principio analogo alla selezione delle variabili nei modelli matematici: prima di introdurre parametri aggiuntivi bisogna verificare quali informazioni sono realmente necessarie.
Abbiamo due variabili a disposizione ([math]a[/math] e [math]b[/math]), ma l’analisi preliminare della fattorizzazione di 18 e 72 ci rivela che il fattore 5 (e quindi la variabile [math]b[/math]) ha invarianza nulla sul risultato. Accorgersene prima di calcolare significa ottimizzare il processo, esattamente come si scartano variabili a varianza zero nei modelli di machine learning.

L’Esercizio 4 (Stima e Bound) è vitale per la stabilità del Floating-Point:
Perché impazzire a dimostrare analiticamente che il valore sta tra 10/7 e 18/11 quando un computer lo calcola in un millisecondo?

Perché l’aritmetica floating-point introduce errori di rappresentazione e arrotondamento, che possono propagarsi durante i calcoli numerici.

Nello sviluppo di algoritmi critici, definire dei “bound” analitici garantisce che, indipendentemente dalla precisione della macchina, il risultato non uscirà mai da confini di sicurezza matematicamente dimostrati. Aver verificato la monotonia della funzione tramite derivate parziali assicura che non ci siano “sorprese” (fluttuazioni invisibili) all’interno dell’intervallo.

I logaritmi mostrano così una caratteristica profonda della matematica: non sempre serve conoscere direttamente un valore per determinarlo. A volte è sufficiente conoscere le relazioni che lo collegano ad altri elementi del sistema. La matematica non è soltanto calcolo di risultati, ma costruzione di strutture in cui pochi principi generano molte conseguenze.