Equazioni Logaritmiche e Dominio: Come Calcolare le Condizioni di Esistenza

I logaritmi hanno una pessima reputazione.

Spesso vengono visti come un ostacolo astratto, una serie di regole messe lì solo per complicare la vita durante le verifiche di matematica.

Ma se togliamo di mezzo l’ansia da equazione, un logaritmo non è altro che una domanda scritta in modo strano:

A quale numero devo elevare questa base per ottenere questo risultato?

Prima ancora di mettersi a calcolare, però, c’è un passaggio fondamentale su cui si basano tutti gli esercizi:

capire quando un logaritmo ha senso di esistere.

Non possiamo fare richieste impossibili alla matematica.

Vediamo quindi quali sono le condizioni per far funzionare i logaritmi, evitando gli errori che di solito costano cari nei compiti in classe.

Condizioni di esistenza dei logaritmi

Il logaritmo di un numero è definito solo quando il suo argomento è strettamente positivo. In altre parole, se abbiamo [math]\log_a(x)[/math], allora deve valere:

[math]x > 0[/math]

Condizioni sulla base

Oltre all’argomento, anche la base del logaritmo deve soddisfare due condizioni fondamentali:

[math]a > 0[/math] e [math]a \neq 1[/math].

Quindi, per il logaritmo [math]\log_a(x)[/math], le condizioni complete sono:

[math]\displaystyle \begin{cases} x > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}[/math]

Perché l’argomento deve essere positivo?

Il logaritmo risponde alla domanda:

“A quale esponente devo elevare la base [math]a[/math] per ottenere [math]x[/math]?”

Ma una potenza con base positiva ([math]a > 0[/math]) non può mai dare come risultato un numero negativo o zero. Ad esempio:

• [math]2^3 = 8[/math]
• [math]2^{-1} = \frac{1}{2}[/math]
• [math]2^0 = 1[/math]

Tutti questi risultati sono sempre positivi. Quindi:

• [math]\log_2(8)[/math] esiste;
• [math]\log_2(\frac{1}{2})[/math] esiste;
• [math]\log_2(0)[/math] non esiste;
• [math]\log_2(-5)[/math] non esiste.

Esempi pratici

Esempio 1: [math]\ln(x-3)[/math]
Condizione di esistenza:
[math]x-3 > 0 \implies \boxed{x > 3}[/math]

Esempio 2: [math]\log_5(2x+1)[/math]
Condizione:
[math]2x+1 > 0 \implies 2x > -1 \implies \boxed{x > -\frac{1}{2}}[/math]

Esempio 3: [math]\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right)[/math]
Occorre imporre:
[math]\frac{x+1}{x-2} > 0[/math]
Questo richiede uno studio del segno del numeratore e del denominatore.

Regola operativa fondamentale

Ogni volta che compare un logaritmo:

1. si prende il suo argomento;
2. lo si impone maggiore di zero;
3. si risolve la disequazione ottenuta.

Caso con più logaritmi

Se abbiamo, ad esempio, [math]\ln(x-1) + \ln(2x+3)[/math], dobbiamo imporre entrambe le condizioni:

[math]x-1 > 0[/math] e [math]2x+3 > 0[/math]

Quindi:
[math]x > 1[/math] e [math]x > -\frac{3}{2}[/math]
L’intersezione delle soluzioni è: [math]\boxed{x > 1}[/math].

Errore frequente da evitare

Attenzione: la condizione è sempre argomento [math]> 0[/math], non argomento [math]\ge 0[/math]. Infatti il logaritmo di zero non esiste.

In sintesi

Perché il logaritmo [math]\log_a(x)[/math] esista, devono valere contemporaneamente:

[math]\boxed{x > 0, \quad a > 0, \quad a \neq 1}[/math]

Queste sono le condizioni di esistenza (o condizioni di dominio) di ogni funzione logaritmica.

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Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione esponenziale:

[math]e^{x \ln 2} = 128[/math]

Determinare il valore reale di [math]x[/math].

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Soluzione

L’equazione proposta contiene una potenza con base [math]e[/math]. Per risolverla, conviene sfruttare le proprietà dei logaritmi e delle esponenziali.

Proprietà fondamentali

• [math]e^{\ln a} = a[/math]
• [math]\ln(a^n) = n \ln a[/math]

1. Riscrittura dell’esponente

Osserviamo che:

[math]x \ln 2 = \ln(2^x)[/math]

infatti, per la proprietà del logaritmo della potenza, [math]\ln(2^x) = x \ln 2[/math].
Quindi l’equazione diventa:

[math]e^{\ln(2^x)} = 128[/math]

2. Applicazione della proprietà inversa

Poiché funzione esponenziale e logaritmo naturale sono inverse, otteniamo immediatamente:

[math]2^x = 128[/math]

3. Scrittura di 128 come potenza di 2

Scomponiamo il numero 128:

[math]128 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7[/math]

Pertanto:

[math]2^x = 2^7[/math]

4. Confronto degli esponenti

Poiché le basi sono uguali e positive, possiamo uguagliare gli esponenti:

[math]x = 7[/math]

Risultato finale

[math]\boxed{x = 7}[/math]

Verifica

Sostituiamo [math]x = 7[/math] nell’equazione iniziale:

[math]e^{7 \ln 2} = e^{\ln(2^7)} = 2^7 = 128[/math]

L’uguaglianza è verificata.

Osservazione metodologica

Questo esercizio mostra una tecnica fondamentale nella risoluzione delle equazioni esponenziali: trasformare l’esponente usando le proprietà dei logaritmi per ricondurre l’equazione a una forma con basi uguali. Una volta ottenuta tale forma, il confronto degli esponenti diventa immediato.

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Esercizio 2

Risolvere l’equazione:

[math]2\ln x-\ln(x-1)=\ln 12[/math]

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Soluzione

1. Condizioni di esistenza

Affinché i logaritmi siano definiti, devono valere contemporaneamente:

[math]x>0[/math] e [math]x-1>0[/math].

Quindi:
[math]x>1[/math].
Questo è il dominio dell’equazione.

2. Applicazione delle proprietà dei logaritmi

Usiamo la proprietà: [math]n \ln a = \ln(a^n)[/math].
Pertanto: [math]2\ln x = \ln(x^2)[/math].

L’equazione diventa:
[math]\ln(x^2)-\ln(x-1)=\ln 12[/math].

Ora applichiamo la proprietà del quoziente [math]\ln a – \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right)[/math].
Otteniamo:

[math]\ln\left(\frac{x^2}{x-1}\right)=\ln 12[/math].

3. Uguaglianza degli argomenti

Poiché il logaritmo naturale è una funzione iniettiva:

[math]\frac{x^2}{x-1}=12[/math].

4. Eliminazione del denominatore

Moltiplichiamo entrambi i membri per [math]x-1[/math]:

[math]x^2=12(x-1)[/math].

Sviluppando:
[math]x^2=12x-12[/math].

Portiamo tutto al primo membro:
[math]x^2-12x+12=0[/math].

5. Risoluzione dell’equazione di secondo grado

Applichiamo la formula risolutiva:

[math]\displaystyle x = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 – 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2}[/math]

Calcoliamo il discriminante:
[math]\Delta = 144 – 48 = 96[/math].
[math]\sqrt{96} = 4\sqrt{6}[/math].

Quindi:
[math]\displaystyle x = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{6}[/math].

6. Verifica delle condizioni di esistenza

Poiché:
[math]6-2\sqrt{6} \approx 1,10 > 1[/math],
e
[math]6+2\sqrt{6} > 1[/math],
entrambe le soluzioni sono accettabili.

7. Soluzione finale

[math]\boxed{x=6-2\sqrt{6} \quad \text{oppure} \quad x=6+2\sqrt{6}}[/math]

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Esercizio 3

Risolvere l’equazione:

[math]3^{\log_3(x+1)} + \log_2(8x) = 10[/math]

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Soluzione

1. Condizioni di esistenza

Per il primo termine:
[math]x+1 > 0 \Rightarrow x > -1[/math].

Per il secondo termine:
[math]8x > 0 \Rightarrow x > 0[/math].

L’intersezione delle condizioni è:
[math]x > 0[/math].

2. Semplificazione del termine esponenziale

Usiamo la proprietà fondamentale: [math]a^{\log_a t} = t[/math].
Quindi:
[math]3^{\log_3(x+1)} = x+1[/math].

L’equazione diventa:
[math]x+1 + \log_2(8x) = 10[/math].

3. Semplificazione del logaritmo

Poiché [math]8x = 2^3 \cdot x[/math], abbiamo:
[math]\log_2(8x) = \log_2 8 + \log_2 x[/math].

Essendo [math]\log_2 8 = 3[/math], si ottiene:
[math]\log_2(8x) = 3 + \log_2 x[/math].

L’equazione diventa:
[math]x + 1 + 3 + \log_2 x = 10[/math]
[math]x + \log_2 x = 6[/math].

4. Ricerca della soluzione

Proviamo [math]x = 4[/math]:
[math]4 + \log_2 4 = 4 + 2 = 6[/math].
L’uguaglianza è verificata.

5. Verifica completa

Sostituiamo [math]x = 4[/math] nell’equazione iniziale:
[math]3^{\log_3(5)} + \log_2(32) = 5 + 5 = 10[/math].
Perfetto.

6. Unicità della soluzione

La funzione [math]f(x) = x + \log_2 x[/math] è strettamente crescente per [math]x > 0[/math], poiché somma di due funzioni crescenti. Quindi la soluzione trovata è unica.

Soluzione finale

[math]\boxed{x=4}[/math]

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Esercizio 4 (Avanzato)

Risolvere l’equazione:

[math]\ln(x^2-1)-\ln(x-1)=\ln(x+3)[/math]

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Soluzione

 1. Condizioni di esistenza

Imponiamo:

[math]\displaystyle \begin{cases}
x^2-1 > 0 \implies x < -1 \quad \text{oppure} \quad x > 1 \\
x-1 > 0 \implies x > 1 \\
x+3 > 0 \implies x > -3
\end{cases}[/math]

Intersezione:
[math]\boxed{x > 1}[/math]

2. Uso delle proprietà dei logaritmi

Applichiamo la proprietà del quoziente: [math]\ln a – \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right)[/math].
Otteniamo:

[math]\ln\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right)=\ln(x+3)[/math]

 3. Semplificazione dell’espressione

Fattorizziamo la differenza di quadrati: [math]x^2-1=(x-1)(x+1)[/math].
Quindi:

[math]\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1[/math]

(Attenzione: possiamo semplificare perché [math]x > 1[/math], quindi [math]x – 1 \neq 0[/math]).
L’equazione diventa:

[math]\ln(x+1)=\ln(x+3)[/math]

 4. Uguaglianza degli argomenti

[math]x+1=x+3[/math]
[math]1=3[/math]

❌ Assurdo

❌ 5. Conclusione

Non esistono soluzioni reali.

[math]\boxed{\varnothing}[/math]

🔍Questo è un classico caso in cui:

• la manipolazione algebrica è corretta;
• ma l’equazione risulta impossibile.

👉 Ottimo esempio per capire che non tutte le equazioni logaritmiche hanno soluzione.

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Esercizio 5 (Molto avanzato)

Risolvere:

[math]2^{\log_2 x} + 4^{\log_2 x} – 5x = 0[/math]

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Soluzione

1. Condizioni di esistenza

[math]x > 0[/math]

2. Riscrittura in forma utile

Usiamo la proprietà fondamentale: [math]a^{\log_a x} = x[/math].
Quindi:
[math]2^{\log_2 x} = x[/math]

Ora trasformiamo il secondo termine [math]4^{\log_2 x}[/math].
Poiché [math]4 = 2^2[/math], abbiamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
4^{\log_2 x} & = (2^2)^{\log_2 x} \\
& = 2^{2 \log_2 x} \\
& = 2^{\log_2(x^2)} \\
& = x^2
\end{aligned}[/math]

3. Equazione semplificata

[math]x + x^2 – 5x = 0[/math]
[math]x^2 – 4x = 0[/math]

4. Risoluzione

[math]x(x – 4) = 0[/math]
[math]x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 4[/math]

5. Verifica dominio

Ricordiamo la condizione iniziale: [math]x > 0[/math].

• [math]x = 0[/math] ❌ non accettabile
• [math]x = 4[/math] ✅ valido

Soluzione finale

[math]\boxed{x = 4}[/math]

🔍Questo esercizio è fondamentale perché combina:

• cambio di base implicito;
• proprietà delle potenze;
• riconoscimento di una struttura nascosta.

👉 Il trucco chiave è: [math]4^{\log_2 x} = x^2[/math].

Se lo riconosci subito, l’esercizio diventa banale. Se non lo riconosci… diventa un incubo.

Commento Applicativo 

Questa sezione  offre uno sguardo approfondito sul perché questi problemi siano stati scelti e come si collegano al mondo reale.

Esercizio 1: [math]e^{x \ln 2} = 128[/math]

Costringe a leggere le proprietà dei logaritmi “al contrario”. Solitamente gli studenti sono abituati a “far scendere” l’esponente; qui devono “farlo salire” per poter annullare l’esponenziale con il logaritmo.

Applicazione: Questa conversione di base (da base 2 a base [math]e[/math]) è fondamentale in fisica e biologia. Quando si studia il decadimento radioattivo o la crescita dei batteri, le formule originano spesso con base 2 (es. tempo di dimezzamento), ma vengono tradotte in base [math]e[/math] per poter applicare le derivate in modo più agevole.

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Esercizio 2: [math]2\ln x-\ln(x-1)=\ln 12[/math]

Mostra come un’equazione logaritmica nasconda in realtà un’equazione polinomiale di secondo grado. Inoltre, il risultato finale ([math]6 \pm 2\sqrt{6}[/math]) non è un numero intero “pulito”, obbligando a valutare numericamente la radice ([math]\approx 1,10[/math]) per verificare il rispetto delle condizioni di esistenza ([math]x > 1[/math]).

Applicazione: È un tipico problema di “pulizia” del rumore nei segnali. I rapporti tra intensità vengono spesso misurati su scala logaritmica (come i Decibel) e portano a equazioni quadratiche nella retro-ingegneria del segnale originale.

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Esercizio 3: [math]3^{\log_3(x+1)} + \log_2(8x) = 10[/math]

È un esercizio ibrido geniale. Non si può risolvere con la pura algebra isolando la [math]x[/math]. Dopo la semplificazione, si arriva a [math]x + \log_2 x = 6[/math]. Costringe a usare l’intuito per trovare la soluzione ([math]x=4[/math]) e l’analisi matematica (la stretta crescenza delle funzioni) per dimostrare che non esistono altre soluzioni.

Applicazione: Abilita al pensiero computazionale e ai metodi numerici (come il metodo di bisezione). Nella programmazione e nell’analisi degli algoritmi, ci si imbatte spesso in equazioni trascendenti miste che richiedono lo studio dell’andamento della funzione piuttosto che formule risolutive esatte.

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Esercizio 4: [math]\ln(x^2-1)-\ln(x-1)=\ln(x+3)[/math]

È la “trappola perfetta”. Tutti i passaggi algebrici filano lisci e si semplificano meravigliosamente, illudendo lo studente di essere sulla strada giusta. Tuttavia, il sistema genera un’uguaglianza assurda ([math]1=3[/math]).

Applicazione: Serve come controllo di robustezza. Nelle scienze ingegneristiche, se un modello matematico porta a un assurdo, significa che le condizioni iniziali (il dominio del problema fisico) o le assunzioni teoriche sul sistema non erano valide fin dal principio.

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Esercizio 5: [math]2^{\log_2 x} + 4^{\log_2 x} – 5x = 0[/math]

Testa l’elasticità mentale sulle potenze. Vedere il 4 semplicemente come un numero è limitante; vederlo come [math]2^2[/math] apre la strada alla risoluzione. L’intuizione chiave [math]4^{\log_2 x} = x^2[/math] è un salto logico di alto livello.

Applicazione: Le potenze di potenze con logaritmi agli esponenti compaiono costantemente nel calcolo della complessità degli algoritmi informatici (Master Theorem), dove è fondamentale semplificare espressioni come [math]a^{\log_b n}[/math] in [math]n^{\log_b a}[/math] per stimare i tempi di esecuzione di un software.

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