Logaritmi nella vita reale: esercizi svolti e spiegati su Decibel, pH e Magnitudine Stellare

Quando a scuola si incontrano per la prima volta i logaritmi, la reazione più comune è chiedersi a cosa possano mai servire fuori da un’aula. Spesso sembrano solo un trucco algebrico per spostare esponenti da una parte all’altra dell’equazione.

Eppure, la natura “ragiona” in modo logaritmico molto più di quanto pensiamo.
I logaritmi ci permettono di fare una cosa fondamentale: prendere scale di misura immense (o microscopiche) e comprimerle in numeri piccoli e facilmente leggibili.

In questo articolo mettiamo da parte l’astrazione e vediamo tre casi concreti in cui questa operazione matematica è indispensabile: misurare la luce delle stelle, calcolare l’inquinamento acustico e definire l’acidità di una soluzione.

Esercizio 1 (Facile): Dal telescopio ai logaritmi

Testo del problema

La luminosità apparente di una stella è misurata con una scala logaritmica: una stella di magnitudine 1 è 100 volte più brillante di una stella di magnitudine 6.
La relazione che lega il flusso luminoso [math]F[/math] (in watt/m²) alla magnitudine [math]m[/math] è
[math]m = -2.5 \cdot \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right)[/math], dove [math]F_0[/math] è un flusso di riferimento.
Sapendo che per la stella Vega [math]F_0 = 2.18 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2[/math] e che la sua magnitudine è 0,
calcola il valore esatto di [math]\log_{10}(2.18 \times 10^{-8})[/math] senza usare la calcolatrice, esprimendolo in termini di [math]\log_{10}(2.18)[/math].

Risoluzione

💡 Richiamo teorico: Il logaritmo decimale di un prodotto è la somma dei logaritmi:
[math]\log_{10}(a \cdot b) = \log_{10} a + \log_{10} b[/math].
Inoltre, [math]\log_{10}(10^k) = k[/math].

Sostituiamo i dati nella formula.

Per Vega, [math]m=0[/math] e [math]F_0=2.18 \times 10^{-8}[/math]:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
0 &= -2.5 \cdot \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right)
\end{aligned}
[/math]

Dividiamo entrambi i membri per -2.5 (che è diverso da zero):

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
0 &= \log_{10}\left(\frac{F}{F_0}\right)
\end{aligned}
[/math]

Per la definizione di logaritmo, [math]\log_{10}(x)=0[/math] implica [math]x=1[/math].

Quindi:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{F}{F_0} &= 1 \Rightarrow F = F_0
\end{aligned}
[/math]

Questo significa che il flusso di Vega è esattamente [math]F_0[/math].
L’esercizio ci chiede [math]\log_{10}(F_0)[/math], cioè [math]\log_{10}(2.18 \times 10^{-8})[/math].

Applichiamo la proprietà del prodotto:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{10}(2.18 \times 10^{-8}) &= \log_{10}(2.18) + \log_{10}(10^{-8})
\end{aligned}
[/math]

Poiché [math]\log_{10}(10^{-8}) = -8[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{10}(2.18 \times 10^{-8}) &= \log_{10}(2.18) – 8
\end{aligned}
[/math]

Risultato: [math]\log_{10}(2.18 \times 10^{-8}) = \log_{10}(2.18) – 8[/math]

💡 Osservazione: Non abbiamo bisogno del valore numerico di [math]\log_{10}(2.18)[/math];
l’espressione è già semplificata usando le proprietà dei logaritmi.

Esercizio 2 (Facile-Medio): Acustica e decibel

Testo del problema

In acustica, il livello di intensità sonora [math]\beta[/math] in decibel (dB) è definito come
[math]\beta = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)[/math], dove [math]I[/math] è l’intensità sonora (in W/m²)
e [math]I_0 = 10^{-12} \, \text{W/m}^2[/math] è la soglia di udibilità.
Se una motocicletta produce un’intensità sonora di [math]10^{-2} \, \text{W/m}^2[/math], calcola il suo livello in decibel.
Successivamente, se due motociclette identiche producono insieme un’intensità doppia, qual è il nuovo livello in decibel?
Di quanto aumenta il livello sonoro?

Risoluzione

💡 Richiamo teorico:

Proprietà del logaritmo di un prodotto:
[math]\log(a \cdot b) = \log a + \log b[/math].
In particolare, [math]\log(2 \cdot x) = \log 2 + \log x[/math].

Calcoliamo il rapporto [math]\frac{I}{I_0}[/math] per una motocicletta:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{I}{I_0} &= \frac{10^{-2}}{10^{-12}} = 10^{-2 – (-12)} = 10^{10}
\end{aligned}
[/math]

Applichiamo la formula:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\beta &= 10 \cdot \log_{10}(10^{10})
\end{aligned}
[/math]

Per definizione, [math]\log_{10}(10^{10}) = 10[/math],

quindi:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\beta &= 10 \cdot 10 = 100 \, \text{dB}
\end{aligned}
[/math]

Con due motociclette, l’intensità raddoppia: [math]I’ = 2 \cdot 10^{-2} \, \text{W/m}^2[/math].
Il nuovo rapporto è:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{I’}{I_0} &= \frac{2 \cdot 10^{-2}}{10^{-12}} = 2 \cdot 10^{10}
\end{aligned}
[/math]

Il nuovo livello è:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\beta’ &= 10 \cdot \log_{10}(2 \cdot 10^{10})
\end{aligned}
[/math]

Usando la proprietà del prodotto:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\beta’ &= 10 \cdot [\log_{10}(2) + \log_{10}(10^{10})] \\
&= 10 \cdot [\log_{10}(2) + 10]
\end{aligned}
[/math]

Sapendo che [math]\log_{10}(2) \approx 0.3010[/math],

otteniamo:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\beta’ &= 10 \cdot (0.3010 + 10) \\
&= 10 \cdot 10.3010 = 103.01 \, \text{dB}
\end{aligned}
[/math]

L’aumento è:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\Delta \beta &= \beta’ – \beta = 103.01 – 100 = 3.01 \, \text{dB}
\end{aligned}
[/math]

Risultato: Una motocicletta produce 100 dB, due motociclette 103.01 dB, con un aumento di circa 3 dB.

💡 Osservazione:

Raddoppiare l’intensità non raddoppia i decibel!
I logaritmi “comprimono” i grandi numeri: un aumento di 3 dB corrisponde sempre a un raddoppio dell’intensità, indipendentemente dal livello di partenza.

Esercizio 3 (Medio): Cambio di base in chimica

Testo del problema

In chimica delle soluzioni, il pH è definito come [math]\text{pH} = -\log_{10}[H^+][/math],
dove [math][H^+][/math] è la concentrazione di ioni idrogeno in mol/L.
Una soluzione A ha [math][H^+] = 10^{-4}[/math] mol/L, mentre una soluzione B ha
[math][H^+] = 3.2 \times 10^{-5}[/math] mol/L.
Calcola il pH di entrambe le soluzioni. Esprimi poi il pH della soluzione B utilizzando un logaritmo
in base 2 (invece che in base 10) e verifica che il valore numerico, dopo opportuna conversione,
coincida con quello calcolato inizialmente.

Risoluzione

💡 Richiamo teorico:

Formula del cambiamento di base:
[math]\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}[/math].
Possiamo scegliere qualsiasi base [math]c[/math] conveniente.

Inoltre,
[math]\log_{10}(3.2 \times 10^{-5}) = \log_{10}(3.2) + \log_{10}(10^{-5})[/math].

Calcoliamo il pH di A:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{pH}_A &= -\log_{10}(10^{-4}) = -(-4) = 4
\end{aligned}
[/math]

Calcoliamo il pH di B.

Prima scomponiamo:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
[H^+]_B &= 3.2 \times 10^{-5} \\
\log_{10}(3.2 \times 10^{-5}) &= \log_{10}(3.2) + \log_{10}(10^{-5}) \\
&= \log_{10}(3.2) – 5
\end{aligned}
[/math]

Sapendo che [math]\log_{10}(3.2) \approx 0.5051[/math], otteniamo:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{10}(3.2 \times 10^{-5}) &\approx 0.5051 – 5 = -4.4949 \\
\text{pH}_B &= -(-4.4949) \approx 4.50
\end{aligned}
[/math]

Ora vogliamo esprimere [math]\text{pH}_B[/math] usando logaritmi in base 2.
Calcoliamo [math]\log_{2}[H^+]_B[/math] usando il cambiamento di base:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{2}(3.2 \times 10^{-5}) &= \frac{\log_{10}(3.2 \times 10^{-5})}{\log_{10}(2)} \\
&{} \quad \text{(Usiamo la base 10 come intermediaria)}
\end{aligned}
[/math]

Sostituendo i valori [math]\log_{10}(3.2 \times 10^{-5}) \approx -4.4949[/math] e [math]\log_{10}(2) \approx 0.3010[/math]:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{2}(3.2 \times 10^{-5}) &\approx \frac{-4.4949}{0.3010} \approx -14.93
\end{aligned}
[/math]

Attenzione:

il pH standard è in base 10. Per confrontare i valori,
verifichiamo che la conversione ritorni al valore originale:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
-\log_{10}(3.2 \times 10^{-5}) &= \frac{-\log_{2}(3.2 \times 10^{-5})}{\log_{2}(10)}
\end{aligned}
[/math]

Calcoliamo [math]\log_{2}(10)[/math]:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{2}(10) &= \frac{1}{\log_{10}(2)} \approx \frac{1}{0.3010} \approx 3.322
\end{aligned}
[/math]

Infine:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{-(-14.93)}{3.322} &= \frac{14.93}{3.322} \approx 4.49
\end{aligned}
[/math]

Il valore coincide (a meno di approssimazioni).

Risultato: pH di A = 4, pH di B ≈ 4.50. La conversione in base 2 e ritorno conferma la correttezza.

💡 Osservazione: Il cambiamento di base è utile quando si lavora con basi diverse,
ma il valore del logaritmo (e quindi del pH) è unico: cambia solo la rappresentazione numerica.

Risposte alle domande di riflessione

Esercizio 1

Quale proprietà dei logaritmi abbiamo usato per separare il prodotto? Cosa succederebbe se al posto di [math]10^{-8}[/math] ci fosse [math]10^5[/math]?

Abbiamo usato la proprietà del logaritmo di un prodotto:
[math]\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c[/math].

Se al posto di [math]10^{-8}[/math] ci fosse [math]10^5[/math], il calcolo diventerebbe:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{10}(2.18 \times 10^5) &= \log_{10}(2.18) + \log_{10}(10^5) \\
&= \log_{10}(2.18) + 5
\end{aligned}
[/math]

Il segno cambierebbe da negativo a positivo perché l’esponente della potenza di 10 è positivo, ma la struttura logica della scomposizione rimarrebbe la stessa.

Esercizio 2

Perché un aumento di 3 dB corrisponde a un raddoppio? Prova a dimostrarlo simbolicamente.

Se il nuovo livello sonoro [math]\beta’[/math] è superiore al precedente [math]\beta[/math] di 3 dB, ovvero [math]\beta’ = \beta + 3[/math], possiamo scrivere:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
10 \log_{10}\left(\frac{I’}{I_0}\right) &= 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) + 3 \\
\log_{10}\left(\frac{I’}{I_0}\right) &= \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) + \frac{3}{10} \\
\log_{10}\left(\frac{I’}{I_0}\right) &= \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) + 0.3
\end{aligned}
[/math]

Ricordando che [math]0.3 \approx \log_{10} 2[/math], l’equazione diventa:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{10}\left(\frac{I’}{I_0}\right) &= \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) + \log_{10} 2 \\
\log_{10}\left(\frac{I’}{I_0}\right) &= \log_{10}\left(2 \cdot \frac{I}{I_0}\right)
\end{aligned}
[/math]

Per la proprietà di iniettività del logaritmo, uguagliamo gli argomenti:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{I’}{I_0} = \frac{2I}{I_0} &\Rightarrow I’ = 2I
\end{aligned}
[/math]

Questo dimostra che l’intensità sonora è raddoppiata.

Esercizio 3

Se volessi calcolare [math]\log_2(10)[/math] partendo da [math]\log_{10}(2)[/math], quale operazione devi fare? Perché [math]\log_a b = 1/\log_b a[/math]?

Per calcolare [math]\log_2(10)[/math] è sufficiente fare l’inverso:
[math]\log_2(10) = \frac{1}{\log_{10}(2)}[/math].

Dalla formula del cambiamento di base, infatti, abbiamo:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_{2}(10) &= \frac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(2)} = \frac{1}{\log_{10}(2)}
\end{aligned}
[/math]

La relazione generale [math]\log_a b = \frac{1}{\log_b a}[/math] deriva dalle proprietà fondamentali:
[math]a^{\log_a b} = b[/math] e [math]b^{\log_b a} = a[/math].
Prendendo il logaritmo in base [math]a[/math] di entrambi i membri della seconda identità ([math]b^{\log_b a} = a[/math]), otteniamo:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\log_a(b^{\log_b a}) &= \log_a a \\
\log_b a \cdot \log_a b &= 1
\end{aligned}
[/math]

Da cui deriva immediatamente il reciproco.

Commento Applicativo

Esercizio 1 (Astronomia)

L’aspetto interessante di questo esercizio è che ci mostra come i logaritmi siano lo strumento perfetto per “comprimere” scale di valori immensi. Il nostro occhio percepisce la luce in modo logaritmico, non lineare. Questo esercizio dimostra come una formula matematica riesca a tradurre variazioni energetiche enormi (fattori di 100 o più) in una scala piccola e intuitiva per l’uomo (da [math]1[/math] a [math]6[/math]).

Esercizio 2 (Acustica)

È il classico esempio controintuitivo: se raddoppio le moto, non raddoppia il volume del suono (che passerebbe da 100 a 200 dB, distruggendoci i timpani), ma aumenta solo di [math]3 \, \text{dB}[/math].
L’esercizio è fondamentale perché spiega il meccanismo di difesa del nostro udito: sentiamo in modo logaritmico proprio per poter tollerare sia il fruscio di una foglia che il rombo di un motore senza danni immediati.

Esercizio 3 (Chimica)

La peculiarità qui è il “cambio di prospettiva”. Il pH trasforma numeri minuscoli e scomodi (come [math]10^{-5}[/math]) in una scala da 0 a 14. La seconda parte dell’esercizio, che chiede di usare la base [math]2[/math], è un elegante esercizio di stile: dimostra che la realtà fisica (l’acidità) non cambia a seconda del sistema matematico che usiamo per descriverla.
Il cambio di base è la “stele di Rosetta” che ci permette di tradurre le informazioni tra sistemi diversi.

💡 Perché il mondo è logaritmico?

Il nostro cervello non è un calcolatore lineare: per la legge di Weber-Fechner, percepiamo gli stimoli (luce, suono, peso) in modo logaritmico per non restare “abbagliati” dalla realtà. Poiché i fenomeni naturali variano su scale esponenziali enormi, i logaritmi agiscono come un potente strumento di compressione informativa. Senza di essi, non potremmo racchiudere in un’unica scala leggibile la debole luce di una candela e la potenza di una stella, o il silenzio di una stanza e il frastuono di un decollo.