C’era una volta un logaritmo, Archimede ed un granello di sabbia

Storia del logaritmo

La legge degli esponenti

L’osservazione del legame esistente tra progressioni aritmetiche e geometriche si può prendere come segnale precursore della scoperta dei logaritmi.

Infatti, se a_m = a₀q^m ed a_n = a₀qⁿ sono due termini di una progressione geometrica, il loro prodotto occupa la posizione m + n nella progressione: al prodotto tra a_n ed a_m corrisponde la somma degli esponenti—ad una progressione geometrica ne corrisponde una aritmetica, e proprio la riduzione di prodotti in somme è la proprietà che ha decretato il grande successo dei logaritmi.

Il primo ad osservare la legge degli esponenti fu Archimede di Siracusa (287(?)-212 a.C.) che ne fa menzione in un’opera interessante per molti aspetti, l’Arenario.

L’opera è importante per la storia della matematica e per quella dell’astronomia. L’aspetto matematico saliente è l’indagine sulla possibilità di esprimere numeri interi qualsiasi utilizzando il sistema non posizionale in uso presso i greci. Quest’ultima precisazione è doverosa perchè agli occhi dei moderni il problema appare futile, dal momento che aggiungendo un numero qualsivoglia di zero a destra di un gruppo di cifre significative, ovvero ricorrendo a notazione esponenziale, è possibile esprimere un numero grande a piacere. Il sistema di numerazione in uso all’epoca di Archimede era alfabetico e poggiava sulle seguenti corrispondenze:

e proseguiva per i numeri superiori a mille anteponendo un pedice ad una lettera: così 2000 si rappresentava come _‘β. La miriade 10000 era indicata con la lettera M ed i suoi multipli mediante una notazione del tipo M^β = 20000, M^γ = 30000.

Il problema su cui è incentrato l’Arenario viene enunciato nei termini seguenti da Archimede:

Alcuni pensano, o re Gelone, che il numero [dei granelli] della sabbia sia infinito in quantità: dico non solo quello [dei granelli di sabbia] che sono intorno a Siracusa e nel resto della Sicilia, ma anche quello [dei granelli di sabbia] che sono in ogni regione, sia abitata sia non abitata. Vi sono poi alcuni che ritengono che quel numero non sia infinito, ma che non si possa nominare un numero che superi la sua quantità. E’ chiaro che se coloro che così pensano si  rappresentassero un volume di sabbia di grandezza tale quale quella della Terra, avendo riempito tutti i mari e tutte le depressioni fino a raggiungere l’altezza delle più alte montagne, molto meno comprenderebbero che si possa nominare
un numero che superi tale quantità. Ma io tenterò di mostrarti, per mezzo di dimostrazioni geometriche che tu potrai seguire, che, dei numeri da noi denominati ed esposti negli scritti inviati a Zeusippo, alcuni superano non soltanto il numero [dei granelli] della sabbia aventi [nell’insieme] grandezza uguale alla Terra riempita come abbiamo detto, ma anche della grandezza uguale al cosmo[intero].

(Archimede, Arenario)

Egli espone il suo metodo per esprimere numeri sempre più grandi con un sistema di numerazione non posizionale. Con il sistema in uso, era possibile nominare numeri fino alla miriade di miriadi, cioè 10⁸. Archimede chiama numeri primi o del primo periodo quelli compresi tra 1 e 10⁸ , escludendo quest’ultimo che diventa l’unità dei numeri del secondo periodo i quali vanno da 10⁸ fino alla miriade di miriadi di unità del secondo periodo e dunque fino a 10⁸ · 10⁸ = 10¹⁶, con il quale iniziano i numeri del terzo periodo e così via ad infinitum. Appare chiaro, tra l’altro, che Archimede non nutre dubbi sul fatto che la successione dei numeri naturali sia infinita potenzialmente.

Il passo più importante per i nostri scopi è il seguente:

Se dei numeri son posti in proporzione continuata a partire dall’unità, e se [il numero] che vien dopo l’unità è 10, i primi otto di essi, compresa l’unità, saranno tra quelli che sono stati chiamati numeri “primi”, e altri otto dopo di essi [saranno] tra quelli che sono stati chiamati numeri “secondi” (….) E anche ciò che segue è utile a conoscersi. Se dei numeri in proporzione continuata vengon moltiplicati tra loro, appartenendo alla stessa proporzione, il prodotto sarà nella stessa proporzione, e disterà dal maggiore dei numeri che vengono moltiplicati tra loro di quanto il più piccolo di detti numeri dista dall’unità della proporzione; e rispetto all’unità [avrà un certo numero d’ordine] minore di una unità [della somma] dei numeri d’ordine dei numeri che si moltiplicano tra loro.

Cos’è la proporzione continuata

Numeri a, b, c, d, etc. si dicono in proporzione continuata se

a : b = b : c = c : d = d : ….

cioè se il rapporto tra due numeri consecutivi è costante. E’ chiaro che, posto

1/q := a/b,

le proporzioni continuate sono progressioni geometriche di ragione q e termine iniziale a. Quanto Archimede ha enunciato nel passaggio ora citato è l’osservazione che anzitutto 1, 10, 100,…10^k formano una proporzione continuata e, soprattutto, il riconoscimento della legge degli esponenti per cui, al prodotto tra potenze della proporzione corrisponde la somma degli esponenti.

Questo risultato, dimostrato da Archimede in generale, da una parte consente di trovare in 10⁶³, cioè l’ottavo dei numeri dell’ottavo periodo, un’approssimazione per eccesso del numero di granelli di sabbia contenuti nella sfera delle stelle fisse. D’altra parte, fa capire come Archimede avesse intuito l’idea fondamentale che sta dietro alla definizione di logaritmo, vale a dire la possibilità di trasformare moltiplicazioni in somme.

Esempio

Se si considerano i primi 10 termini della progressione geometrica di ragione 3 e si riportano in una tabella con a fianco indicato il posto (indice) occupato da ogni termine,

si ha:

Si può osservare che moltiplicando tra loro due termini qualsiasi della progressione si ottiene ancora un termine della progressione, il cui indice è dato dalla somma degli indici dei due fattori; moltiplicando ad esempio 9^.243=2187=a₇ e sommando gli indici corrispondenti, che sono 2 e 5, si ottiene 7 che è l’indice del termine 2187, da cui oggi 9=3², 243=3⁵ e 9^.243=3^2. 3⁵=3²⁺⁵=3²⁺⁵=2187.

Non avendo a disposizioni calcolatrici o computer, ridurre prodotti in somme, semplifica i calcoli e questa proprietà è il motivo della grande importanza dei logaritmi. Analogamente si può ridurre una divisione a una sottrazione e una potenza a una moltiplicazione.

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